«...se estudia para colaborar a dar vida a las obras humanas, para darles una oportunidad de seguir viviendo; si el teorema de Pitágoras muere para todos nosotros, morirá para siempre.»

Chevallard, Bosch y Gascón (1997:276)

Les propongo acercarnos al asunto de este artículo con un breve ejercicio de evocación. Los1 invito a recordar la manera en la que estudiaban matemáticas en la escuela o en el liceo. Tomemos unos minutos para recuperar algunas imágenes de, por ejemplo, cuáles eran las actividades que realizaban, dónde estudiaban o con quiénes. Hagamos una pausa en la lectura.

Podríamos mencionar actividades como pasar en limpio el cuaderno, leer y hacer ejercicios similares a los de la clase, repetir fielmente los procedimientos “como me los enseñaron”, repasar, rehacer los problemas que ya se resolvieron o memorizar los conceptos. Posiblemente, las realizáramos especialmente unos días antes de una prueba o un escrito, o por sentir cierta distancia con lo trabajado para ‘reenganchar’ generalmente solos y en el hogar.

Esas actividades, los momentos y el lugar forman parte del estudio que integra una perspectiva que se encuentra en estrecha relación con una forma de enseñar. Es decir, lo que los alumnos –de ayer y de hoy– puedan o no elaborar en la clase de matemáticas se ve condicionado por lo que habilita u obtura la enseñanza. Cabe preguntarnos: ¿por qué un alumno podría realizar alguna otra actividad para estudiar si nunca se enfrentó o vio como se hace?

En matemáticas, como en otras disciplinas, hay distintas perspectivas acerca de qué significa estudiar. Desde nuestra perspectiva –la mía y la de otros docentes con los que abordamos este asunto– estudiar resulta un proceso fundamental para que haya aprendizaje y debería significar mucho más que esto que se realizó en cierta etapa de su trayecto escolar o liceal.

¿Por qué afirmamos que estudiar debería significar mucho más? Porque el alumno del presente, que solo memoriza y repite conceptos o procedimientos producidos por otros, seguramente desconozca las razones que le dieron origen y además difícilmente les otorgue algún sentido a esos conceptos o procedimientos.

En este artículo, por un lado se comparte y desarrolla una perspectiva de estudio más amplia a la de memorizar procedimientos para repetirlos fielmente; por otro lado se ofrecen tareas para fomentar distintas prácticas2 de estudio en el aula, ligadas a la comunicación oral o escrita. Las tareas, seleccionadas principalmente de los cuadernos para hacer matemáticas del CEIP del primer y del segundo ciclo, están acompañadas por aportes o comentarios a modo de orientaciones didácticas.

Para la implementación de dichas tareas será necesario adecuarlas a la secuencia de enseñanza y al modo de trabajo del docente, teniendo en cuenta el contexto de la institución, el grupo y, especialmente, la trayectoria escolar de cada alumno de la clase.

• 1Este artículo se realiza desde una perspectiva de igualdad de género. Con el fin de agilizar la lectura se hará uso genérico del masculino, salvo que la mención explícita sea de relevancia en el contexto.
• 2En este artículo se usa la idea de prácticas en el sentido de acción deliberada, no como rutinas.

¿Qué entendemos por estudiar matemáticas? «...estudiar matemáticas es efectivamente HACERLAS, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas, ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual.» (Charlot, 1996:1)

Esta idea, a la que adherimos y que vive en los cuadernos para hacer matemáticas del CEIP y en los maestros de nuestro país, sostiene que estudiar matemáticas es hacer matemáticas en un sentido bien amplio.

Supone que estudiar comienza con resolver problemas autónomamente, donde se ponen en juego distintos conocimientos y diferentes estrategias que los alumnos han ido construyendo progresivamente cuando resolvían los problemas. Y continúa al volver a esos problemas ya resueltos para pensar en el sentido que tienen, para hablar y discutir al respecto con los compañeros de clase, para analizarlos, compararlos
entre sí, para identificar características y sus modos de resolución o para leer, escribir o reescribir las ideas matemáticas a las que estos problemas dieron origen y es preciso atrapar.

El trabajo de volver sobre los problemas resueltos y reflexionar acerca de ellos o sus resoluciones no se agota en las tareas mencionadas anteriormente, y requiere además de cierta actividad cognitiva mucho más compleja que la necesaria solo para resolver los problemas.

Esta forma de entender el estudio en matemáticas contribuye, por ejemplo, a relacionar ideas, identificar por qué algunas estrategias de resolución son válidas o qué tipos de problemas se pueden resolver con ciertos conceptos y cuáles no, anticipar posibles errores y argumentar por qué podrían o no ocurrir. Estas prácticas promueven que los alumnos tomen conciencia sobre lo producido, desarrollen su autonomía en el aprendizaje y fortalezcan su autoestima en las clases de matemáticas.

En el proceso de estudio se reconocen dos situaciones esenciales. Por un lado, no hay aprendizaje de las matemáticas sin esfuerzo, sin trabajo personal de cada uno de los alumnos (cf. Chevallard, Bosch y Gascón, 1997) y parecería que esto no es tan claro para nuestros alumnos. Por otro lado, consiste en un proceso colectivo en el que la clase funciona como una comunidad de producción y de toma de conciencia de lo realizado.

Esta toma de conciencia por parte de los alumnos refiere a que aprendan al comprender qué asuntos “van sabiendo”, van aprendiendo, en oposición a la idea de aprender jugando, “sin darse cuenta”, que durante cierto tiempo circuló en nuestras escuelas.

Todos los alumnos tienen derecho a aprender a estudiar matemáticas; por ende, la enseñanza debe asumir esta responsabilidad. Para ello, es necesaria la planificación del trabajo a propósito de tareas de estudio dentro del aula bajo el control del docente. Se considera que la dupla estudio y aula implica otro desafío para los docentes porque supone generar, además de espacios de resolución y discusión, otras tareas y momentos de estudio dentro del aula.

Por ejemplo, requiere instalar en el aula y sostener el desarrollo de procesos de comunicación de las producciones, en forma oral o escrita, en torno a las ideas matemáticas que se van abordando. La escritura, entendida en términos de toma de decisiones por parte de los alumnos respecto a qué es lo que hay que anotar, es un instrumento importante para el desarrollo de los procesos de estudio. En ese sentido, resulta ineludible proponer alternadamente situaciones de escritura colectiva e individual.

De la misma manera resulta imprescindible promover en el aula momentos de reorganización y de reflexión de lo realizado. Se considera que estos momentos les permitirían a los docentes tomar decisiones respecto de la enseñanza como, por ejemplo, volver o no sobre determinados asuntos matemáticos o agregar otras tareas a la secuencia.

Es esperable que ya en el nivel inicial, los alumnos se enfrenten y realicen prácticas de estudio. Pero ¿de qué manera? Al generar espacios y momentos desde la enseñanza para que ellos pongan en palabras lo que hicieron, lo describan, lo evoquen, lo reutilicen. De esta manera no solamente se estarían enseñando los objetos matemáticos y sus propiedades, sino que se estaría enseñando a hablar en el aula y a reflexionar sobre los problemas resueltos.

Los cuadernos para hacer matemáticas del CEIP proponen numerosas tareas que promueven un retorno de naturaleza reflexiva sobre lo realizado, y suponen situaciones de producción individual y colectiva. En este sentido, ofrecen una herramienta llamada BLA BLA que intenta dar pistas para promover el debate y la elaboración de explicaciones por parte de la clase. Esta herramienta incluye «...alguna pregunta con el propósito de provocar la reflexión sobre lo realizado y a modo de disparar u orientar una puesta en común» (Alonso y Requena, 2021:12).

A continuación se ofrecen algunas tareas de estudio para proponer en el aula, recuperadas de los cuadernos para hacer matemáticas del CEIP del primer y del segundo ciclo asociadas a prácticas de estudio ligadas a la comunicación. Como se menciona en la introducción, para su implementación será necesario adecuarlas a la secuencia de enseñanza y al modo de trabajo del docente.

Tarea 1

Fuente: ANEP. CEIP. CACEEM (2017a:63)

En esta tarea de geometría, los alumnos se ven enfrentados a imaginar y conversar en torno a qué cuerpo geométrico podría corresponder cada una de las huellas utilizadas en una guarda. Si bien la conversación se puede realizar mientras exploran los cuerpos utilizados para este trabajo, la imaginamos después de ese momento para hablar sobre lo hecho. Para ello es fundamental que los niños se sientan habilitados a poner en palabras sus ideas y en sus propios términos al hablar sobre qué figuras identifican, en qué se fijaron o las características de los cuerpos en juego.

Desde la perspectiva de estudio en la que nos posicionamos resulta imprescindible resolver los problemas e instalar en el aula momentos de explicitación, de conversación, de discusión para reconocer y organizar las figuras geométricas en juego y sus características. De esta manera, desde el nivel inicial se comienza a constituir un conocimiento, y una forma de hacer y de estudiar en la clase de matemáticas que se va elaborando entre todos en el aula.

Asociado a este trabajo, un tipo de práctica que el maestro podría implementar sería escribir las ideas que circulan en el aula a modo de conclusiones para ser reutilizadas cuando se necesiten. Imaginamos niños que le dictan al maestro para que, por ejemplo, escriba en la cartelera: nos dimos cuenta de que hay cuerpos que tienen las mismas huellas o nos dimos cuenta de que hay cuerpos que no dejan huellas de triángulos ni rectángulos.

El desafío de hablar sobre lo trabajado en clase, de poner en palabras lo aprendido, es una herramienta que enseña a estudiar matemáticas a los niños desde el nivel inicial, fortaleciendo su autonomía y la conceptualización de los objetos matemáticos.

Tarea 2

Otro tipo de práctica podría consistir en escribir algunas formas de resolución a fin de que queden disponibles para su uso en otros momentos. Por ejemplo, apoyados en las resoluciones de los problemas de MENOS ES MÁS (ANEP. CEIP. CACEEM, 2017c:70), escribir en un cartel cuáles fueron las distintas maneras en las que los alumnos pudieron armar un medio: un cuarto más un cuarto, se pueden unir dos octavos y agregarle un cuatro, se pueden unir cuatro octavos. Así, quedarían disponibles diferentes formas de armar el medio para ser reutilizadas cuando se necesitaran.

Fuente: ANEP. CEIP. CACEEM (2017c: 68-69)

Aquí se destaca el valor de volver sobre lo que se ha hecho y de relacionarlo con lo que se está haciendo en la clase.

«Insertar el trabajo de un momento pasado en un proyecto de enseñanza que abarque el presente supone: por una parte, la oportunidad de revisar aquellas cuestiones que no se han comprendido en el momento que se han trabajado; por otra parte, resituar en la clase y para todos los alumnos una perspectiva que trascienda la tarea diaria y que, por ese motivo, genere mejores condiciones para que ellos puedan elaborar un proyecto personal de aprendizaje. Volver hacia atrás para mirar el presente y vislumbrar el futuro significa inventar en la clase un tiempo que, al no ser lineal y acumulativo, acompañe mejor el proceso de aprendizaje de los alumnos. Al evocar un tema se lo hace vivir durante más tiempo en la clase.» (Napp et al., 2005:15)

Es necesario que el maestro planifique momentos de evocación, pues no surgirían espontáneamente en el aula. Asimismo, estos momentos se podrían constituir en nuevas oportunidades para que los niños identifiquen y tomen conciencia acerca de nuevas relaciones. Por ejemplo, se podría concluir que: “en estos problemas, a cada amigo le toca más de un chocolate y en los otros tres no” o, un poco más descontextualizado, “en estos problemas nos dan fracciones mayores a uno y en los otros tres menores a uno”.

Tarea 4

A propósito del juego “Guerra de fracciones” (ANEP. CEIP. CACEEM, 2017b:28-29), encontramos la siguiente tarea:

Fuente: ANEP. CEIP. CACEEM (2017b:29)

Usualmente, cuando el docente pregunta en el aula espera que se dé la respuesta correcta y si se responde mal es un problema. Por el contrario, desde nuestra manera de entender la enseñanza de las matemáticas el error es inherente al aprendizaje, equivocarse es parte del aprendizaje. Por ejemplo, si al comparar fracciones de igual numerador concluyo que la fracción mayor es la de mayor denominador, esto podría dar lugar a una discusión muy interesante en la clase, que permita ajustar esa idea.

El análisis de posibles errores y la discusión en torno a cómo evitarlos forman parte del proceso de estudio en el aula. De esta manera, los errores y también las resoluciones incompletas se constituyen en objetos de discusión, de registro y de estudio.

Incentivar a los alumnos a poner en palabras lo que realizaron, por ejemplo, a través de intervenciones como “coméntale a tu compañero lo que pensaste”, los ubica en situación de volver a pensar y de compartir sus ideas con sus compañeros.

Tarea 5

En el capítulo “Yacaré y el azar” (idem, pp. 32-39) se encuentra una tarea (p. 34) que convoca a elaborar conclusiones atadas al experimento de tirar dos monedas juntas. Se trata de que puedan identificar resultados novedosos –por ejemplo que el espacio muestral de arrojar dos monedas al aire no es cara-cara, cara-número, número-número– o conceptos matemáticos a retener más allá de este problema en particular.

A modo de registro del proceso grupal de aprendizaje resulta útil elaborar y escribir conclusiones de lo aprendido de manera individual, en pequeños grupos o con toda la clase, luego de analizar un problema o un conjunto de ellos. A nivel individual en el cuaderno o en el pizarrón, y colectivamente armando carteles, algún mensaje para un compañero ausente.

Tarea 6

La producción de un “machete”. El machete es un dispositivo de repaso donde los alumnos tienen la responsabilidad de decidir y anotar cuáles son los contenidos que priorizan para una prueba y donde además pueden incluir ejemplos y “alarmas” para evitar errores. Su elaboración, individual o colectiva, resulta una práctica interesante porque fomenta una selección de los asuntos trabajados más importantes y la identificación de los errores comunes (cf. Napp et al., 2005).

«En clase algún grupo expone su “machete”, mientras que el resto de los alumnos puede realizar aportes referidos a los aspectos que no fueron tenidos en cuenta por ese machete en particular. La idea es que, entre todos, obtengan un producto lo más completo posible que sirva como resumen del tema que se está repasando.» (idem, p. 18)

En este artículo se plasmó una perspectiva de estudio en matemáticas a la que adherimos y que resulta más amplia respecto a la que usualmente vive en los niños escolares. También propusimos tareas para realizar en el aula, solidarias con dicha perspectiva, que involucran un proceso de estudio y sistematización con foco en la comunicación oral o escrita tanto para el primer como el segundo ciclo. Estas tareas son una manera de contribuir a la organización del estudio de nuestros alumnos.

«...la enseñanza debe hacerse cargo de problematizar qué significa estudiar matemática y propiciar estrategias, brindar elementos y proponer actividades en clase y fuera de ella que orienten el estudio y que sean generadoras de propuestas que los alumnos puedan tomar para su actividad de estudio personal. Es decir, que el docente debe considerar como un objetivo de enseñanza en clase el “enseñar a estudiar”.» (Napp et al., 2005:12)

Estamos convencidos de que la inclusión del estudio en matemáticas como un contenido de enseñanza generaría otros aprendizajes, y una forma de estudiar y de relacionarse con las matemáticas, distinta a la que construimos los docentes de hoy en la escuela.