Es muy probable que al preguntarnos por cuánto es 8x7 dudemos unos instantes y en el caso de que la respuesta no surja de memoria tengamos que recurrir a caminos como 8x5, que sabemos que es 40, y le sumemos 8x2, que es 16. Este es un ejemplo de situaciones bastante cotidianas: tener que resolver cálculos sencillos y que la respuesta no esté disponible de forma automática. La resta es particularmente complicada; para responder 93-47 seguramente tengamos que ejecutar muchos pasos intermedios, aunque hacer 90-44 requiera bastante menos y tiene el mismo resultado.
Las sumas son más sencillas, pero también tienen sus complicaciones; 43+18 nos puede llevar varios pasos intermedios. Las divisiones generalmente requieren más pasos, aunque los números involucrados sean igual de manejables; resolver 58:7 puede ser desafiante “si nos sacan apurados”.
En general no es fácil calcular mentalmente, y el costo cognitivo aumenta rápidamente apenas salimos de los cálculos más conocidos. Dehaene (2016:165) afirma que «...la aritmética mental plantea problemas serios para el cerebro humano».

«Nada lo preparó nunca para la tarea de memorizar docenas de multiplicaciones entremezcladas, o de cumplir sin fallas los diez o quince pasos de una resta de dos dígitos. En nuestros genes bien puede estar inserto un sentido innato de las cantidades numéricas aproximadas; pero cuando nos vemos enfrentados al cálculo simbólico exacto, es claro que no contamos con los recursos apropiados. Para suplir la falta de un órgano cerebral diseñado específicamente para el cálculo, nuestro cerebro tiene que recurrir a circuitos alternativos.» (idem, pp. 165-166)

La idea de este artículo no es escribir sobre el cálculo mental como objeto de enseñanza ni sobre las dificultades cognitivas a superar, sino compartir cómo abordamos algunos de los problemas que el cálculo nos propone cotidianamente. Estas estrategias son un particular cableado que hemos ido construyendo. Al finalizar se parecerá más a una recopilación de resultados diversos, los que a la luz de propiedades se transforman en estrategias más o menos estables. No se trata del camino más corto ni del más eficiente. El objetivo es poner en común, desarmadas, algunas de esas estrategias que diariamente hacen que calcular nos haga sonreír. Porque vueltas a armar, ya como saberes, esas estrategias prometen felicidad. La formulación de Chevallard (2013), en un contexto más general, es categórica y aclara esto.

«Los saberes permiten, pues, responder a algunas preguntas. ¿Cómo hacer esto?
¿Por qué tenemos aquello? ¿Qué podría producirse si...? De una manera general, los saberes aportan medios de actuar y de comprender: para quien entiende sus razones de ser, los saberes son una fuente de inteligencia de las situaciones del mundo y de potencia en la acción dentro de esas situaciones. (...) los saberes, todos los saberes, tienen como razón de ser última el hacernos la vida buena –no siempre a la misma gente ni en los mismos contextos institucionales, sin duda, y cada uno en relación con cuestiones específicas–.» (idem, p. 20) 

Esas cuestiones aparecerán seguidamente como simples consignas de cálculo, pero la potencia, los problemas que resuelven, están por supuesto dentro de la propia matemática; y, sin dudas, a su vez refieren a la vida cotidiana. Calcular con placer y eficacia también nos hace la vida buena.

Sin anotar nada, ¿cuánto da 111 menos 86? Si se saca de la discusión el algoritmo convencional de la resta, ya sea “al pedir prestado” o “por compensación”, una buena forma de llegar al resultado sería pensar que “del 86 al 100 van 14 y del 100 al 111 van 11”. 25 es la respuesta. 97-72 es más fácil de hallar y tiene el mismo resultado. Pero el premio se lo lleva 100-75. Todas dan 25. Si invertimos el orden en el que presentamos las restas queda clara la intención, y también la estrategia. De 100 a 97 restamos 3 e igual de 75 a 72. De 100 a 111 sumamos 11 igual que de 75 a 86. La razón circula ampliamente en nuestras escuelas con el nombre de “invarianza de la resta”, pero la fascinación con sus consecuencias prácticas no nos abandona. ¡No hay restas con dificultad! Que este cableado en particular esté disponible en nuestras estrategias de cálculo facilita sin dudas nuestra vida. Durante algún tiempo vale la pena ponerse en situación: escribir algunas restas “con dificultad” y obligarse a transformarlas para que ya no la tengan. En algún momento se vuelve praxis.

Los cuadrados de los naturales tienen propiedades muy interesantes, y resulta oportuno reconocerlos cuando aparecen para establecer otras relaciones. Si bien es una ventaja “saberse” de memoria muchos de ellos, no aspiramos a que responder 23x23 sea automático. Pero 20x20 casi lo es. Por eso, si en lugar de 23x23 calculamos (20+3)x(20+3) la situación mejora ya que hay que calcular: 20x20, 20x3, 3x20 y 3x3 e ir sumándolos, 400+60+60+9 que es 400+120+9=529.
Probemos con otro caso, 15x15: desarmamos 15 en 10 más 5 y seguimos igual que antes, (10+5)x(10+5) lo que generará los subproductos 10x10, 5x10, 10x5 y 5x5. Y sumaremos: 100+50+50+25=225.
La estrategia puede optimizarse observando que el primer sumando es el primer número multiplicado por sí mismo, el último sumando que escribimos en cada caso es el segundo número de la descomposición multiplicado por sí mismo, y los otros dos sumandos son el producto entre los números de la descomposición. Si lo verbalizamos, tenemos “el cuadrado del primer número más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”. Es verdad que esta formulación quizá aparezca más adelante en la escolaridad (seguro en segundo año de educación secundaria), pero nada impide que, jugando con los números, podamos llegar ella.
Calculemos entonces 35x35: primero 35 es 30+5, después 30x30 que es 900, 30x5x2 que es 300, solo falta 5x5. Sumaremos: 900+300+25=1225.
Nuevamente, al estabilizar la estrategia y resolver intencionalmente varios casos, la velocidad aumenta y la satisfacción también.

No es un gran problema calcular, por ejemplo, 40x40, que es 1600, pero ¿qué ocurre con 39x41? Apenas si cambiamos los factores, particularmente disminuimos una unidad a uno y le aumentamos una unidad al otro. Resolver el cálculo con el algoritmo convencional lleva varios pasos, podemos hacerlo; en cualquier caso, el resultado es 1599. Probemos otro caso similar, sabemos rápidamente cuánto es 30x30, es 900, ¿y 29x31? Calculadora en mano, el resultado es 899. Si repetimos este truco salteándonos el primer cálculo puede que parezca que hacemos magia al responder rápidamente. Uno más: 10x10 es 100. 9x11 es 99. Claro, aquí no es necesario el truco. ¿Cuál es el truco? Formalmente, ¿qué estrategia asegura el resultado? Una variante de la anterior.
Volvamos al desafío inicial, 39x41. 39 es 40-1 mientras que 41 es 40+1. Al calcular los subproductos debemos estar atentos porque dos de ellos hay que restarlos. Y esto va a pasar siempre. El resultado es simplemente 40x40 menos 1x1.

Para ganar seguridad habría que intentarlo varias veces y calcular, para empezar, el producto central. Antes habíamos calculado 35x35, que es 1225. Ahora es muy sencillo deducir que 34x36 es 1224.
No hay por qué conformarse en este momento. Cuando estamos en posesión de una buena idea hay que exprimirla, quizá tenga más que ofrecer. Si en lugar de restar y sumar 1, a cada factor le restamos (y sumamos) 2, ¿qué ocurrirá? Podemos aventurarnos con la predicción, si 40x40 es 1600 y 39x41 es 1599, ¿será que 38x42 es 1598? Por lo pronto es seguro que no, porque 8x2 es 16, así que 38x42 tiene que terminar en 6.

Vemos entonces que hay que restar los subproductos 2x40 y 40x2, y como son iguales dan 0. Pero también hay que restarle a 40x40 el resultado de 2x2, ¡38x42 da 1596!
Nuevamente, si 35x35 da 1225, ¿cuánto da 33x37? 35x35 menos 2x2, o sea, 1225-4=1221.
¿Y si sumamos 3 y restamos 3?
Sigamos con 35x35 para calcular 32x38, que es (35-3)x(35+3), y si extendemos el argumento sería 35x35-3x3, o sea, 1225 menos 9.

Un salto cualitativo en cualquier proceso de aprendizaje se da al conectar saberes; por ejemplo, en el momento en que entendemos, quizás al principio precariamente, que para restar sumamos, que 10-4=6 porque 6+4=10, que cada suma se transforma en dos restas (y una resta en una suma y una resta). Lo mismo ocurre con la división y la multiplicación: como 3 por 5 es 15, entonces 15 dividido 3 es 5 y 15 dividido 5 es 3. Saber más [resultados] a partir de lo que ya sabemos genera satisfacción; realmente “multiplicamos” lo que sabemos estableciendo este tipo de relaciones.
¿Qué relaciones podemos hacer evidentes para que, por ejemplo, 30 dividido 2,5 sea sencilla de resolver? 2,5 es la mitad de 5, que es la mitad de 10, o sea que es la cuarta parte de 10. 2,5 entra 4 veces en 10. Así que si dividimos entre 10 nos queda multiplicar por 4 para haber hecho lo mismo que dividir entre 2,5. 30:10 es 3 y 3x4 es 12. 30:2,5=12. Evidentemente, un camino como este está sujeto estrictamente a los números que aparecen en el cálculo y a las relaciones que entre ellos puedo establecer, pero adquieren otra plasticidad mirados desde una perspectiva un poco más formal: ¿cómo haríamos esa división con el algoritmo convencional?
30 dividido 2,5 lo planteamos como 300 dividido 25, con aquello de “correr la coma”. Es una versión de la invarianza de la resta para la división: si multiplico (o divido) dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no cambia. Pero quizá aún no nos sea evidente cuánto da 300:25, pero puedo multiplicar ambos por 4 con la ventaja evidente de que el divisor será 100. 1200:100 que es igual que 30:2,5.
Un caso sustantivo de estos es cuando queremos dividir entre 0,1 o 0,01 y así. Como 0,1 es la décima parte de 1, para dividir 30 entre 0,1 podemos multiplicar ambos números por 10; 30:0,1 es igual que dividir 300 entre 1. Y si este momento no es feliz es porque estamos abrumados por otras cosas de la vida. 50 entre 0,1 da 500. Y así. Dividir entre 0,1 es como multiplicar por 10. Para dividir 30 entre 0,01 multiplicamos ambos números por 100 (porque 0,01 es un centésimo), 30:0,01 es 30x100, que es 3000.

Con ligeras variantes, estos argumentos permiten resolver otros casos similares. Como ejemplo pensemos en dividir entre 0,5. 0,5 es la mitad de 1, al tratar de dividir 30 entre 0,5 multiplicamos ambos números por 2 y tenemos que es el mismo resultado que multiplicar 30x2, que es 60. Este conocimiento está muy difundido en nuestras escuelas, dividir entre 0,5 da lo mismo que multiplicar por 2. Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por 4 (0,25 es la cuarta parte de 1), dividir entre 0,2 es igual que multiplicar por 5 (porque 0,2 es la quinta parte de 1). ¿Pero si quiero dividir entre 0,4? No es evidente cuántas veces entra 0,4 en 1, y aunque la respuesta no sea difícil de encontrar (es “dos veces y media”), el resultado no es prometedor del todo (30:0,4=30x2,5=75) porque queda localizado a dividir entre 0,4. Más alcance tiene pensar que para pasar de 0,4 a 1 primero lo multiplico por 10 y después lo divido entre 4. Ahora, hacer 30:0,4 se transforma en multiplicar 30 por 10 y lo que da dividirlo entre 4. Resolver 30:0,6 es igual que hacer 30x10 y dividirlo entre 6.

Vincular rápidamente fracciones, porcentajes y decimales hace la vida más sencilla. Calcular el 20% de algo es como dividirlo entre 5, multiplicar por 0,25 es como calcular la cuarta parte, calcular el 5% es igual que calcular la vigésima parte, o lo que es lo mismo, dividir entre 20. Y si lo asociamos con que dividir entre 20 es lo mismo que tomar la mitad y luego dividir entre 10, o al revés, el cálculo fluye.
Calcular el 25% de 80 es sencillo, es su cuarta parte, pero ¿cuánto es el 80% de 25?
Para calcular porcentajes tenemos estrategias variadas entre las que están resolver con una regla de tres, multiplicar por la representación decimal del porcentaje, hacer reducción a la unidad calculando cuánto es el 1% de la cantidad. Aunque siempre es bueno estar preparado para cuando los números invitan.
Formalmente podemos calcular el 25% de 80 multiplicando 0,25 por 80. Y 0,25 es 25/100, que es lo mismo que hacer 25x80 y eso dividirlo entre 100 (también son las cuentas que haríamos en la regla de tres). Todo sigue funcionando bien si hacemos 25 por 80/100. Así, calcular el 25% de 80 es exactamente lo mismo que el 80% de 25. Este caso no es quizá el más feliz para ver la potencia porque, si bien el 25% de 80 es 20 porque es su cuarta parte, no está claro que sea mejor pensar en el 80% de 25, que también es 20, para responder.
Todo lo anterior cobra mayor sentido si, por ejemplo, tengo que calcular el 16% de 25. Recuerdo que son reversibles en el sentido que conversamos, así que si puedo calcular el 25% de 16 va a dar igual, y la cuarta parte de 16 es 4. El 16% de 25 es 4. Vamos a probarlo. ¿Cuál es el 17% de 50? Si nos apuran, probablemente no podamos responder, pensando un momento recuperamos que es igual que el 50% de 17, que es la mitad de 17. Evidentemente es mucho más sencillo. El 17% de 50 es 8,5.
No es que en todos los casos tenga sentido hacer esto, aunque siempre dará el resultado correcto, es solo cuestión de estar preparado para cuando las circunstancias lo habiliten.

Si bien el 17,5% de 30 es igual que el 30% de 17,5 no es más sencillo de calcular como tampoco lo es 30x0,175, o la regla de tres, o la reducción a la unidad. Otra mirada sería que puedo pensar 17,5 como 10+5+2,5. ¿Los porcentajes son sumables? La décima parte de 30 es 3, la mitad es 1,5 y su mitad es 0,75. 3+1,5+0,75 es el 17,5% de 30. Jugar con los números tiene recompensas.

Cuando tenemos que operar con fracciones es probable que estén sobrerrepresentados dos casos: multiplicar una fracción por un número natural y, de modo más general, sumar fracciones de numerador 1. Si bien para calcular con fracciones son suficientes un puñado de reglas, es útil recordar que, en el caso de la suma, alcanza con dos: puedo sumar fracciones que tengan el mismo denominador, y la suma mantiene el denominador sumando sí los numeradores, y que una fracción la podemos transformar en otra equivalente, multiplicando numerador y denominador por el mismo número, logrando así el denominador que nos convenga.
De forma bastante natural como 1/3 por 4 es sumar 1/3+1/3+1/3+1/3, el resultado es 4/3 (sumamos 1+1+1+1 para el numerador manteniendo el denominador). Es así que si multiplicamos 1/7 por 5 obtenemos 5/7. ¿Y qué ocurre con 1/3+1/7? Ambas fracciones tienen numerador 1, y denominador diferente. En lugar de escribir 1/3 podemos escribir 7/21, multiplicando numerador y denominador por 7, mientras que para 1/7 hacemos lo propio pero multiplicando por 3 y 3: 1/7 es 3/21. Ahora, sumar 1/3 + 1/7 equivale, da lo mismo, a sumar 7/21 + 3/21. Esta suma tiene denominador 21 y el numerador es la suma de 7+3. 1/3 +1/7 es 10/21. En cada uno de los casos en que observamos una regularidad, la ponemos a prueba y encontramos una justificación razonable que nos permita extenderla; parece sensato transformarla en una regla de acción. Especialmente si simplifica la vida. Miremos de nuevo:

El denominador es el producto de los denominadores y el numerador es la suma. Y esto funciona siempre que tengamos que sumar fracciones unitarias. Un tercio más un cuarto es siete doceavos.

Calcular fluidamente es una competencia a desarrollar. A lo largo de este artículo, hemos compartido diversas estrategias que van en la dirección de que esta habilidad nos haga la vida mejor.
La “invarianza de la resta” nos muestra que no hay restas difíciles, y que incluso las operaciones más desafiantes pueden descomponerse en partes más manejables. Hemos explorado cómo aprovechar las propiedades de los números naturales y las fracciones para agilizar el cálculo mental, cómo vincular fracciones, porcentajes y decimales para que algunos cálculos “fluyan”.
 
En general, la interconexión entre varios conceptos matemáticos nos brinda un repertorio de herramientas que pueden aplicarse en una amplia variedad de situaciones; si hacemos esas conexiones, sabemos más.
En última instancia, recordemos que estas estrategias no solo son útiles para resolver problemas de cálculo, sino que también promueven un entendimiento más profundo de los números y las relaciones entre ellos. La capacidad de calcular con eficacia es muy probable que produzca placer, puede traer mucha satisfacción (así como frustración cuando no lo hacemos), y contribuir a una vida más matemática. El cálculo puede ser un desafío, y compartimos algunas de las reglas que lo hacen cotidianamente más sencillo, pero también es una oportunidad para hacer una vida buena.