En el presente artículo pretendemos compartir una experiencia llevada a cabo en un grupo de quinto grado de escuela primaria, en la que decidimos continuar el trabajo que en años anteriores veníamos realizando en Geometría con las figuras del espacio.

Para comenzar, vale explicitar el lugar teórico desde el cual enfocamos el diseño del trayecto didáctico. Coincidimos en que «la geometría como rama de la matemática se ha “desprendido” de dichos espacios físicos y se ha constituido en el estudio de un espacio ideal con “objetos teóricos” que obedecen a las reglas del trabajo matemático» (Broitman e Itzcovich, 2009:292). En consecuencia, el trabajo geométrico propicia el desarrollo de un modo de pensar, propio del saber geométrico.

«Este “modo de pensar” supone poder apoyarse en propiedades de los objetos geométricos para poder anticipar relaciones no conocidas o inferir nuevas propiedades. Es decir, realizar un proceso de anticipación sobre los resultados a obtener sin necesidad de realizar acciones empíricas y sin apoyarse exclusivamente en la percepción.» (idem, pp. 303-304)

Dentro del eje Geometría del programa escolar vigente (ANEP. CEP, 2009) y en atención a los perfiles de egreso a 6to grado explicitados en el Documento Base de Análisis Curricular (ANEP. CEIP, 2016) jerarquizamos e hicimos el siguiente recorte:

Al momento de “abrir” el contenido para su análisis, tomamos la decisión de focalizar en la relación entre las caras laterales y el polígono de la base en prismas. Para diseñar el recorrido que nos permitiera abordar este aspecto partimos de actividades del Cuaderno para hacer Matemática en cuarto (ANEP. CEIP, 2017:72-73).

A partir del análisis de las actividades de esta doble página –en la que hay un contenido matemático focalizado que es transversal a todas las propuestas– planificamos una secuencia de actividades nucleadas en torno a una unidad de sentido. Esto se constituyó en una herramienta potente al momento de planificar la enseñanza de una noción matemática.

«Ya no es suficiente (...) elegir un conjunto de actividades aisladas, inconexas, aunque todas tengan referencia a esa noción. Es necesario pensar en un propósito que oriente la elección y las vaya conectando en un recorrido que pueda ser claramente especificado en términos de lo enseñado y aprendido.» (Agrasar y Chemello, 2016:47)

Dado que el kiosco de figuras es un “escenario” o una situación ya conocida por los alumnos porque está presente en todos los cuadernos para hacer Matemática desde Inicial a cuarto, consideramos interesante continuar el trabajo tomando este contexto como marco para presentar los problemas.

Iniciamos el trabajo proponiéndoles a los alumnos realizar en forma individual la primera actividad de la página 72 de este cuaderno, pues entendimos que nos permitía recoger insumos acerca de cómo los alumnos estaban “mirando” las figuras y de qué tipo de relaciones eran capaces de identificar.

Si bien ya habíamos realizado otras actividades de pedidos y de construcción que les permitieron a los niños un “hacer” de carácter exploratorio con figuras del espacio, decidimos dejar a disposición varios polígonos (rectángulos, pentágonos, cuadrados, hexágonos) por si alguno necesitaba recurrir a ellos para armar el prisma.

Al analizar la consigna vemos que pone al alumno en situación de tener ciertos conocimientos disponibles que le permitan “entrar” en el problema, como es el hecho de saber de qué hablamos cuando nos referimos a figuras del espacio y a caras. La pregunta “¿Qué figura es posible armar con estas caras?” es la que obliga a poner en juego distintos procedimientos para poder responder. En función de lo que conocemos de los alumnos y de lo que habíamos venido trabajando, anticipamos algunas respuestas:

► “Un cuerpo de los de la caja” (en referencia a la caja de sólidos de la clase).

► “Un prisma” (sin agregar nada más que lo especifique).

► “Un prisma de base de cinco lados o pentagonal” (según el vocabulario que tengan disponible).

Como nos interesaba especialmente conocer cómo los alumnos estaban mirando las figuras o saber qué relaciones estaban estableciendo, amplificamos la consigna de la actividad en el espacio de socialización colectivo, solicitando que justificaran o que explicaran por qué afirmaban que Lucía podía armar cada figura que ellos mencionaron.

Entre las respuestas que recogimos aparecieron las siguientes:

• “Es un prisma porque lo vi.”
• “Es un prisma pentagonal porque hay cinco rectángulos y estos (señalando los pentágonos) tienen cinco lados.”
• “Es un prisma pentagonal porque estos dos (señalando los pentágonos) como son dos, son las bases y los otros (señalando los rectángulos) son las caras laterales.”
• “Estos dos (señalando los pentágonos), uno va arriba y otro abajo y los otros (rectángulos) van alrededor.”

Para confirmar los argumentos o las razones que circulaban en el grupo, propusimos una nueva situación para problematizar y enriquecer la discusión:

En otro grupo alguien dijo que Lucía podría armar una pirámide de base pentagonal. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?

Algunos de los alumnos rápidamente explicaron:

• “No puede ser pirámide porque tendrían que ser triángulos en vez de rectángulos.”
• “No puede ser pirámide porque la pirámide tiene una sola base y acá hay dos bases que son es- tas (pentágonos).”

En la siguiente instancia los invitamos a realizar otra actividad de esa misma página.

Fuente: ANEP. CEIP (2017:72)

En esta oportunidad, la información se ofrece a través de imágenes de los “sólidos” –representaciones en registro figural, con las que los alumnos ya han tenido varias oportunidades de interactuar–. La actividad demanda de los alumnos anticipar la forma y la cantidad de las caras de ambos prismas.

El avance entre esta actividad y la anterior es que mientras que en la primera se ofrecen los polígonos para que el alumno se represente el sólido, en esta se ofrece la foto de unos sólidos para que a partir de la representación “completa” de ese sólido pueda “desarmarlos” en los elementos que los componen: en este caso las caras y los polígonos de la base.

También en esta instancia, la caja de cuerpos es un recurso al que sabemos que algunos alumnos necesitan recurrir. Sin embargo, cabe apuntar que la decisión de poner esos sólidos a disposición de antemano para que ya los tuvieran en la mesa de trabajo hubiese cambiado absolutamente la exigencia de la actividad, porque la identificación del polígono de la base de los prismas la realiza el docente. En cambio, la perspectiva en la que se presentan los prismas en el Cuaderno para hacer Matemática en cuarto obliga a los alumnos a un trabajo de anticipación y promueve actividades cognitivas distintas a las que se movilizan con el sólido presente.

La pregunta “¿Qué polígonos solicitó?” requiere que los alumnos especifiquen la forma de las caras; esto es, si son rectángulos, cuadrados, triángulos. Además, desde la consigna “¿Cuántos polígonos de cada tipo solicitó?” se exige la focalización en el número de caras de cada tipo. En este caso no es suficiente con explicitar cuáles polígonos, sino que hay que especificar cuántos.

Cabe observar que en las actividades presentadas hasta el momento, aún no se exige la explicitación de ciertos conocimientos que están funcionando “en acto” como la igualdad de las bases y la de los polígonos que son las caras laterales. Solo se alude a la forma y a la cantidad de las caras.

Antes de proponer la actividad, anticipamos posibles procedimientos y respuestas:

► Algunos niños podrían considerar hacer un único pedido para ambos cuerpos y solicitar entonces dos cuadrados, dos triángulos y siete rectángulos, con lo cual es suficiente para dar respuesta al problema.

► Otros podrían ir más allá y, además de la cantidad y del tipo de polígonos, considerar la igualdad entre algunos de ellos.

► Otra posibilidad es que hicieran dos pedidos considerando cada cuerpo por separado y que solicitaran dos cuadrados y cuatro rectángulos para el prisma de base cuadrada y dos triángulos y tres rectángulos para el prisma de base triangular. También aquí podrán considerar o no la igualdad.

► Asimismo podría suceder que algunos alumnos quedaran “atados” a lo que percibían en la representación y realizaran un pedido como, por ejemplo, un rombo, un triángulo y tres rectángulos.

Entre las respuestas obtenidas seleccionamos las siguientes:

• Dos cuadrados y cuatro rectángulos iguales para el prisma de base cuadrada, y dos triángulos y tres rectángulos para el prisma de base triangular.
• Siete rectángulos, dos cuadrados y dos triángulos.
• Siete rectángulos iguales, dos cuadrados iguales, dos triángulos iguales.
• Siete rectángulos, dos rombos y dos triángulos.

Una vez más, a fin de recoger algunas razones, de poner en discusión el peso de lo perceptivo y avanzar hacia la relación entre la cantidad de lados de la base y la cantidad de caras laterales, se generó un espacio de discusión en torno a las siguientes preguntas: ¿Por qué un compañero habrá dicho que precisaba dos rombos?, ¿por qué creen que algunos compañeros dijeron que determinadas figuras eran iguales?

Posteriormente y a fin de arribar a posibles conclusiones para “cerrar” las actividades, se propuso la organización de la siguiente tabla:

La construcción de esta tabla habilitó a que los niños que anotaron el pedido sin discriminar entre cuántas y cuáles figuras corresponden a cada prisma, se vieran obligados a identificar la cantidad de rectángulos que correspondían a cada uno de los prismas con los que se trabajó.

Posteriormente, el análisis de la tabla permitió que los alumnos arribasen a las siguientes conclusiones:

• “El número de rectángulos es el mismo que el número de lados que tiene la base.”
• “La cantidad de caras de los costados es igual a la cantidad de lados de la base.”

Las voces de los alumnos nos dieron información respecto a lo que iban conceptualizando. Por ejemplo, la referencia a las “caras de los costa- dos” nos hizo reflexionar acerca de ciertas prácticas que tal vez circulan en algunas de nuestras aulas, en las que la presencia exclusiva de ciertas representaciones y la presentación de estos “cuerpos físicos” siempre en la misma posición se constituyen en obstáculos para la conceptualización que los alumnos puedan realizar de las figuras del espacio en cuanto objetos ideales.

A fin de aportar otros elementos para la construcción de las relaciones entre el polígono de la base y las caras laterales en los prismas, y dar oportunidad a que “todos” los alumnos avancen en sus conceptualizaciones, nos pareció interesante volver sobre la caracterización de ciertos prismas. Para ello propusimos la siguiente actividad:

Fuente: ANEP. CEIP (2017:72)

Esta actividad les exige a los alumnos la tarea de comparar el prisma de base cuadrada con el prisma de base triangular con foco en las semejanzas y diferencias. Se trata de un trabajo interfigural (entre figuras) que habilita a que los alumnos avancen en la caracterización de estas figuras del espacio y arriben a algunas generalizaciones que podrán tener carácter provisorio.

Como semejanzas, los alumnos escribieron:

• “Uno tiene todas las caras que son cuadriláteros y el otro no.”
• “Uno tiene cuatro rectángulos y dos cuadrados, y el otro tiene tres rectángulos y dos triángulos.”
• “Las dos figuras tienen dos bases iguales y las otras caras son rectángulos iguales.”
• “Las bases son iguales entre sí y las otras caras también.”
• “Los polígonos de la base tienen sus lados iguales.”

En cuanto a las diferencias identificaron:

• “En uno las bases son cuadradas y en el otro las bases son triangulares.”
• “Tienen distinto número de caras laterales.”

Aquí también aparece la oportunidad de retomar la idea de paralelismo trabajada en años anteriores, ya que cualquier par de caras iguales y paralelas puede ser base en algunos prismas.

Para el momento de la puesta en común, antes de abordar las preguntas que se ofrecen en el “Bla bla” de la página de referencia, la discusión se organizó en torno a las siguientes: ¿Por qué algunos compañeros dicen que los rectángulos son iguales entre sí y las bases también? ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?

Luego nos focalizamos en las preguntas sugeridas en el “Bla bla” que tomamos como una oportunidad interesante para generar el intercambio y explicitar ciertos conocimientos e ideas que están circulando en el grupo.

Fuente: ANEP. CEIP (2017:72)

En un principio, a las preguntas “¿Cuántos pares de bases tiene? ¿Por qué?” Todos respondieron: un par. Como intervención, recurrimos al prisma de base cuadrada de la caja de sólidos y lo presentamos “apoyado” en una de las caras rectangulares. Esto generó cierto desconcierto... y algunos se animaron a plantear que esa cara podía ser base... ¿Entonces ya no es un prisma de base cuadrada?... nuevas preguntas que quedaban planteadas para continuar pensando. Hicimos lo mismo con el prisma de base triangular... “¡En este no pasa!”, dijeron rápidamente, sin poder dar explicaciones... De esta manera se instalaba un conflicto a partir del cual revisar el trayecto y tomar nuevas decisiones.

Se les invitó a los niños a pensar en algunas conclusiones a partir de lo conversado en clase y a registrarlas en un nuevo papelógrafo.

• “Algunos prismas tienen sus caras laterales todas iguales” (cuando la base es cuadrada o triángulo equilátero o cuando son como los de Mariana).
• “Cuando el prisma tiene en la base un triángulo equilátero, un cuadrado o un pentágono, las caras laterales son rectángulos iguales.”
• “En el prisma de base triangular solo hay dos bases: los dos triángulos.”
• “En el prisma de base pentagonal solo hay dos bases: los pentágonos.”
• “En el prisma de base cuadrada puedo elegir otras caras como base.”
• Cuando el prisma tiene base rectangular, las caras laterales no son todas iguales” (porque el de base cuadrada se puede “convertir” en base rectangular).

Con relación al modo de enunciar las conclusiones, entendemos importante registrar lo que los alumnos dicen para no incurrir en traducciones que se transforman en “saltos” cualitativos entre lo que está circulando en la voz de alumno y lo que el maestro pretende escuchar. Por ejemplo, para la conclusión “En el prisma de base cuadrada puedo elegir otras caras como base”, una traducción posible sería “Hay prismas que pueden tener más de un par de bases, según las caras que considere”. En este sentido, una conclusión construida por los alumnos, vinculada a una situación muy localizada y particular, se convierte –vía traducción del maestro– en una generalización de la que el alumno aún está lejos.

A partir de las conclusiones anotadas –que entendimos como los conocimientos que estaban circulando en el grupo– pudimos observar los avances que se estaban produciendo en términos de lo “enseñado” y de lo “aprendido”, y notamos que aún nos estaba faltando profundizar en la relación entre la medida del lado de la base y la medida de uno de los lados de las caras laterales. En esa dirección y para hacer explícita esa relación planteamos la siguiente actividad:

Anticipamos que algunos alumnos podrían elegir –además de los dos cuadrados– cuatro rectángulos cualesquiera, cuatro rectángulos iguales cuyos anchos no coincidieran con la medida del lado del cuadrado o cuatro rectángulos iguales en los que la medida del ancho del rectángulo coincidiera con la medida del lado del cuadrado.

Los distintos procedimientos y las “razones” que formulen para fundamentar las decisiones tomadas serán objeto de análisis en el momento de la discusión colectiva, a fin de poder arribar a nuevas conclusiones.

Entre las respuestas, los alumnos escribieron:

• “Me fijé en que los rectángulos fueran iguales.”
• “Miré que el lado del rectángulo fuera igual al del cuadrado.”
• “Me fijé en que unos rectángulos eran muy grandes.”
• “Me fijé en que el lado del cuadrado y el ancho del rectángulo fueran iguales.”

Tomando como base las diferentes respuestas que los niños iban escribiendo mientras se recorría el aula, se tomó la decisión de comenzar la discusión preguntando si alcanzaba con que los rectángulos fueran todos iguales. Los niños respondieron que había cuatro rectángulos iguales y también otros cuatro iguales entre sí, pero que no todos servían porque “si quiero armar el prisma con los rectángulos más grandes no se puede porque sobra”.

Se les propuso a los alumnos ayudar a Alejo y a Sol con algún consejo, ¿en qué tendrían que fijarse para encerrar las figuras que les sirven para armar un prisma de base cuadrada? La mayoría respondió: “Para elegir las caras laterales de un prisma (de base cuadrada) un lado de los rectángulos tiene que medir lo mismo que el lado de la base”.

Se les propuso otra actividad para continuar problematizando la relación entre la medida del lado de la base y la medida de uno de los lados de los polígonos que funcionan como caras late- rales. Si bien tenía cierta semejanza con la anterior, se diferencia en que en esta eran los alumnos quienes tenían que escoger cuáles figuras iban a “funcionar” como base y cuáles de las restantes les servirían como caras laterales. Además tendrían que justificar su elección dando las razones que los llevaron a esa decisión.

En el análisis previo observamos que esta actividad nos permitiría “romper” con la idea que pudieran estar construyendo los alumnos respecto a la relación entre la base y la “altura” en los prismas a través de expresiones como “los prismas son más altos que el cubo” o “los rectángulos que son caras laterales de los prismas siempre van ‘parados’”.

Anticipamos que los alumnos no tendrían dificultad para elegir los dos triángulos como bases, atendiendo a que los triángulos son dos y las otras figuras están de a tres. También creímos probable que asociaran los rectángulos con las caras laterales ya que se venía trabajando con los prismas rectos, y con la coincidencia entre el número de caras laterales y el número de lados del polígono de la base.

Al momento de seleccionar los rectángulos, la posibilidad era que eligiesen tres rectángulos iguales en los que la medida de los lados no coincidiera con la de los lados del polígono de la base, o tres rectángulos iguales en los que la medida del largo coincidiera con la medida del lado del triángulo.

Los procedimientos que los niños utilizaron fueron los que anticipamos, ya que en la escritura realizada en la parte b) “Explica por qué realizaste esa selección” en su mayoría describieron el procedimiento utilizado. Por otro lado, la mayoría también hizo una correcta selección de las figuras.

Esto nos llevó a pensar que los conocimientos que venían construyendo eran correctos, pero que debíamos trabajar más lo que significa explicar en Matemática. Si bien este no era el objetivo de la secuencia, nos alertó sobre esta situación. Tomamos entonces la decisión de solicitarles a los alumnos que validaran sus respuestas.

Pusimos a disposición tijeras y cinta para que recortaran y armaran el prisma en cuestión. Esta validación empírica fue una oportunidad para poner en discusión las razones en las que se apoyaron para tomar las decisiones.

En el grupo circularon las siguientes ideas:

► la relación entre las caras laterales (que en este caso tienen que ser iguales);

► la relación entre las medidas del lado de la base y la medida de alguno de los lados de los rectángulos.

Los que hicieron selecciones no pertinentes tuvieron la oportunidad de volver con esas ideas a realizar un nuevo intento, mientras que los que hicieron la selección correcta pudieron volver sobre la parte b) para especificar o ampliar sus respuestas. Algunas de las conclusiones a las que llegaron fueron:

• “Para que el prisma pueda armarse, la medida de los lados de la base tiene que coincidir con alguno de los lados de los rectángulos de las caras laterales.”

“El largo o el ancho del rectángulo de las caras laterales tiene que ser igual al lado de la base.”

Como cierre del recorrido, decidimos proponer otra de las actividades que figuran en esta doble página.

En la medida en que esta actividad fue considerada de evaluación, entendimos necesario hacer algunas variaciones en función del recorrido realizado. Una primera modificación fue presentar la actividad con la imagen del prisma cubierta. Vale observar que si bien ambos grupos de figuras permiten armar un prisma de base cuadrada, la presencia de esa representación en la consigna obliga a desestimar el grupo 1 porque el prisma que se “arma” no se corresponde con el modelo presentado (prisma “alto”). Esta representación de prisma tiene, además, la particularidad de ser la de presencia más habitual en la escuela. Cabe recordar que el uso fijo de una única representación obstaculiza la conceptualización de la noción, ya que se corre el riesgo de “pegar” el objeto matemático “prisma” a esa única representación.

En atención a este análisis modificamos la consigna:

Ámbar quiere armar un prisma de base cuadrada. En el kiosco le ofrecen estos dos grupos de figuras. ¿Con cuál es posible armarlo? Explica tu respuesta.

Esta actividad de evaluación nos permitió observar en qué medida fueron tenidas en cuenta –al momento de decidir el grupo con el cual se puede armar un prisma de base cuadrada (los dos grupos)– las relaciones que los alumnos fueron elaborando durante la puesta en aula de las actividades y la gestión docente realizada. Asimismo, pedirles a los alumnos que expliquen su respuesta aportó elementos para conocer si esas relaciones fueron explicitadas, lo que significó un avance cognitivo que creemos relevante.

Al mirar hacia atrás queremos compartir algunas lecciones aprendidas que recuperamos desde la enseñanza, con relación al trabajo con los recursos que nos ofrece el sistema. En cuanto a los cuadernos para hacer Matemática y con mirada de ciclo, decidimos recurrir a un cuaderno anterior al del grado en el que propusimos este recorrido, en la búsqueda de actividades que nos permitieran abordar y problematizar el aspecto del contenido a ser enseñado. Además, el análisis a priori hizo posible identificar ciertas particularidades y avances entre las actividades de las páginas seleccionadas, que requerían un abordaje detenido y secuenciado en el tiempo. Con foco en la construcción de sentido de los conocimientos matemáticos no hubiera significado lo mismo para los alumnos haberles propuesto todas las actividades en el mismo día ni como tarea domiciliaria. Nos basamos en la idea de que las actividades requieren de la anticipación de cómo los niños podrían resolverlas, del análisis de los procedimientos y de los conocimientos que circulan en el grupo, y de la intervención del maestro que va tomando decisiones didácticas para que los alumnos profundicen y avancen en el dominio del contenido o en determinados “haceres” que nos importa trabajar. En ese sentido, cada actividad retoma algo de la anterior, y avanza en un nuevo aspecto que interesa profundizar. Del mismo modo, pensar las actividades de la “doble página” como una familia de problemas imprime una flexibilidad que habilita a incluir nuevos problemas que afirmen o problematicen las conclusiones provisorias a las que los alumnos van arribando. Además, permite ir evaluando lo sucedido en términos de lo enseñado y de lo aprendido.

«En la búsqueda de reconstruir para nuestros alumnos el sentido de los conocimientos matemáticos que van aprendiendo, nos ha inquietado delinear una estrategia que nos permita ir generando con ellos una red de relaciones entre las nociones que van aprendiendo y entre distintos aspectos de cada una de ellas.» (Agrasar y Chemello, 2016:46)