Presentamos una cuadrícula compuesta por casillas iguales, cada una es un cuadrado, organizadas en igual número de filas y de columnas, y planteamos una pregunta concreta: ¿Cuántos cuadrados pueden formarse?

Aunque de inmediato surge la tentación de responder “16” (pensando en cada casilla como un cuadrado), este problema tiene múltiples capas que invitan a la exploración, al descubrimiento y a la generalización.

El artículo se centra en este problema como un punto de partida para analizar las potencialidades de un recorrido que parte de lo particular de la pregunta que requiere una respuesta, y pasa por diferentes situaciones que van enriqueciendo, con nuevas conexiones, el entramado de conocimientos de que ya disponen los alumnos. De acuerdo con Charnay (1994), una buena situación de partida debe proponer un verdadero problema por resolver, debe permitir utilizar los conocimientos anteriores y, a la vez, ser un desafío intelectual para que esos conocimientos no sean, en principio, suficientes para resolverlo. Tiene que llevar al alumno a cuestionar lo que sabe, a entender hasta dónde puede llegar con esto, para finalmente elaborar nuevos conocimientos.

Diseñar o elegir problemas adecuados impulsa a los alumnos a desarrollar su pensamiento matemático: es necesario afianzar su capacidad para la exploración, la generalización y la argumentación matemática.

El recorrido que abordaremos para este problema en particular –que es una declaración de principios general– va desde la exploración inicial hasta la construcción de reglas locales que conduzcan naturalmente a la generalización de esas reglas. El aprendizaje es un proceso adaptativo en el que los alumnos desarrollan competencias a largo plazo al interactuar con situaciones matemáticas específicas. Reflexionaremos sobre cómo los alumnos pueden avanzar en su comprensión matemática aumentando las conexiones entre los conocimientos que ya tienen.

Al presentarles el problema a los alumnos, es importante iniciar con un tiempo para la exploración, en este caso de las relaciones espaciales, y para la identificación de patrones.

La primera respuesta que podrían dar es “16”, son los cuadrados de lado 1 que coinciden con las casillas de la cuadrícula. Comenzar con estos cuadrados ayuda a continuar la exploración, ya que son fáciles de identificar y contar. Esto permite que los alumnos se familiaricen con el proceso de observación sistemática y preparen el terreno para analizar patrones más complejos. Es sencillo contar estos dieciséis cuadrados. Sin embargo, al buscar cuadrados de lado 2, comienzan a notar una nueva estructura: estos cuadrados ya no coinciden con las casillas, sino que se logran juntando cuatro de ellas. Al observar con detalle, pueden encontrar que hay nueve cuadrados de lado 2. Al continuar con esta exploración, llegarán a que hay cuatro cuadrados de lado 3 y, finalmente, un cuadrado de lado 4.

El recorrido de exploración personal puede haber quedado en el simple conteo de los dieciséis cuadrados más evidentes o en la identificación del grande (de 4x4). Podemos organizar equipos de trabajo en parejas, de tres o cuatro alumnos, considerando que hayan tenido respuestas diferentes a la pregunta o que, habiendo dado la misma respuesta, las estrategias que utilizaron fueron diferentes. La tónica es la misma: que tengan ideas discrepantes o producciones diferentes para intercambiar en el espacio de trabajo grupal.

La respuesta al problema es “treinta”, se pueden formar treinta cuadrados utilizando esas cuadrículas. Adelantar parte de la respuesta puede motivar a los alumnos a seguir buscando: “te faltan, te aseguro que son más”. Puede asimismo validar la respuesta, para aquellos que organizaron el conteo de forma efectiva, apuntando a saber más: “¿Y por qué exactamente treinta?”.

En este punto, el docente puede organizar una puesta en común para sistematizar las observaciones. Puede pensarse como una exposición de lo producido, pero también puede planificarse como mucho más: un espacio centrado en hacer pública la confrontación de ideas, reflexiones y argumentaciones. Los alumnos deben explicar sus hallazgos de manera oral, utilizando también representaciones gráficas para apoyar su argumentación. Los docentes queremos que nuestros alumnos comuniquen ideas de forma clara, y nuestro rol es central para que las interacciones entre alumnos, y entre docente y alumnos, se dirijan a la construcción de conocimiento. El docente puede fomentar la comunicación con preguntas como: “¿Cómo llegaste a esa respuesta?”, “¿Puedes mostrarlo en el dibujo?”, “¿Alguien tiene una respuesta diferente?”.

Este proceso permite que los alumnos identifiquen invariantes operatorias, es decir, los conceptos-en-acto y teoremas-en-acto que emergen de la exploración y que les ayudan a construir un conocimiento matemático más sólido. Por ejemplo, trabajar en responder preguntas, como: “¿Qué relación hay entre el lado del cuadrado y la cantidad de cuadrados que pueden formarse?”, “¿Por qué el número de cuadrados disminuye a medida que la longitud del lado aumenta?”, ayuda a los alumnos a construir reglas locales.

La cantidad de cuadrados de lado 1 en una cuadrícula de 4 por 4 es dieciséis, 4x4.”
▪“Hay un cuadrado grande, que los contiene a todos.”
▪“Después hay otros más chicos formados por nueve cuadraditos, y los que están formados por cuatro cuadraditos.”
▪“Los de cuatro, son de 2 de lado por 2 de
alto. ¿Cuántos hay de esos?”
▪“Esos, los de cuatro cuadraditos, son nueve, 3x3=9.”
▪“¿Cuántos hay de cada clase? Uno de 4 por 4, cuatro de 3 por 3, nueve de 2 por 2 y dieciséis de 1 por 1.”
▪“Hay uno solo formado por dieciséis, que es
4x4. Hay cuatro de 3x3. Nueve de 2x2. Y dieciséis de 1x1.”
▪ “1 + 4 + 9 + 16 = 30.”

Cuando los alumnos hayan identificado patrones y formulado reglas locales, es el momento de pensar en la generalización. Según Vergnaud (2013), este paso implica un cambio de la forma operatoria del conocimiento (acción y manipulación) a una forma predicativa, en la que los alumnos expresan sus hallazgos de manera simbólica y abstracta. Se les puede plantear: “Si aumentamos el tamaño de la cuadrícula, ¿cómo cambiaría el número de cuadrados?”. Para apoyar esta reflexión se pueden mirar los ejemplos con cuadrículas de 2x2 y 3x3, que quizá ya hayan resuelto, antes de abordar casos más grandes, lo que permite que los alumnos establezcan relaciones de forma progresiva. Esta transición de lo específico a lo general posibilita descontextualizar el problema y trabajar con expresiones algebraicas que, aunque no es el objetivo, está a muy poca distancia.

Como señalan Quaranta y Wolman (2003), también corresponde al docente hacer que los conocimientos que se han construido atados a algunos problemas específicos puedan ser descontextualizados y generalizables. En este sentido vamos un paso hacia atrás: para comprender el caso original podemos primeramente solucionar uno más sencillo. Muchas veces esta táctica es útil: que los alumnos la incorporen a sus esquemas de trabajo es un aprendizaje altamente significativo.

¿Cuál es un caso más sencillo?, igual en estructura pero más sencillo. No es esperable que la respuesta más frecuente sea pensar en un solo cuadrado. Quizá aparezcan cuadrículas de 2x2 y de 3x3 como mencionábamos. Es útil pensar en el caso límite: un solo cuadrado. El docente puede dar un tiempo para resolver esos casos, los equipos de trabajo pueden dedicarse a uno u otro, o a todos. Lo que sí es conveniente organizar en conjunto son todas las respuestas. Una tabla ordenada sugiere una estructura que hay que desentrañar y, como motivadores del proceso de aprendizaje, no tenemos que dejar pasar esa oportunidad.

▪En la de 2 por 2 tenemos: un cuadrado grande y cuatro chicos, que podemos contar como 2x2. Así, 1 + 2x2=5
▪En la de 3 por 3: un cuadrado grande, cuatro de 2 por 2, y nueve de 1 por 1. Así, 1 + 4 + 9

Un pizarrón en el que esté la figura original de 4x4, los casos particulares analizados, 3x3, 2x2, y un solo cuadrado, y una tabla en la que en una columna esté la dimensión de la figura y en otra la cantidad de cuadrados motiva, naturalmente, esta pregunta: “¿Y en una de 5x5?”.

▪Lado 1, total de cuadrados: 1
▪Lado 2, total de cuadrados: 1 + 4 = 5
▪Lado 3, total de cuadrados: 1 + 4 + 9 = 14
▪Lado 4, total de cuadrados: 1 + 4 + 9 + 16 = 30
▪Lado 5, total de cuadrados: 1 + 4 + 9 + 16 +¿? =

Además de ser una oportunidad para conectar con las sumas de cuadrados, esta organización motiva a los alumnos en la transición de la observación visual a la representación algebraica. Se puede comenzar identificando patrones en los casos más sencillos y luego sistematizarlos. Es una ayuda para consolidar el vínculo entre la intuición geométrica y la formalización simbólica, a la vez que permite profundizar en patrones algebraicos, y en la relación entre lo visual y lo simbólico.

De todas formas, en general será necesario organizarse, “arremangarse” y contar. Pero controlando lo aprendido

▪Uno grande, de 5 por 5.
▪¿De 4 por 4? Entran 4.
▪¿De 3 por 3? Entran 9.
▪ ¿De 2 por 2? 16.
▪De 1 por 1 son 25.
▪ 1 + 4 + 9 + 16 + 25

El siguiente caso puede hacerse con más confianza, aunque no se construyó una demostración que tampoco es necesaria en los términos formales de la palabra, ya que se indujo una fórmula con evidencias sólidas. El caso de la de 6 por 6 son todos los anteriores más los treinta y seis chiquitos que aparecen de hacer 6x6.
¿Y si fuera de 10 por 10? 1 + 4 + 9 + … + 10x10. ¿Y si fuera de n por n?

El desarrollo de la competencia comunicacional en la clase requiere que los alumnos se involucren en discusiones significativas y argumenten sus ideas de manera estructurada. En este problema, la comunicación se vuelve fundamental no solo para compartir hallazgos, sino también para confrontar distintas estrategias de resolución. El rol del docente es esencial para aprovechar al máximo las potencialidades de este tipo de situaciones. Desde una perspectiva comunicacional, el aula debe convertirse en un espacio de interacción donde los alumnos no solo resuelvan el problema, sino que también aprendan a verbalizar sus ideas, debatir soluciones y construir conocimiento de manera colectiva. En general conviene pensar en algunas claves:

1.Facilitar el intercambio de ideas: proponer momentos específicos en la clase donde los alumnos verbalicen sus hallazgos, expliquen sus estrategias y escuchen activamente a sus compañeros.

2.Promover la escritura matemática: pedir a los alumnos que escriban sus reglas, los cálculos que los llevaron a sus respuestas

3.Incorporar preguntas abiertas: “¿Existen otras formas de abordar este problema?” o “¿Cómo explicarías tu estrategia a alguien que no la conoce?” para fomentar la argumentación.

4.Incentivar la exploración activa: dar tiempo para que realicen conteos y formulen sus propias conjeturas antes de iniciar la discusión para que llegado el momento tengan ideas para compartir.

5.Valorar el error como recurso: si los alumnos omiten algunos cuadrados o duplican otros, estos errores pueden ser puntos de partida para discutir la estructura de la cuadrícula.

El problema puede adaptarse a distintos niveles de complejidad, del conteo simple a la formalización algebraica.

Desde una perspectiva metodológica, los alumnos trabajan de manera autónoma y colaborativa para resolver el problema y encontrar generalizaciones; la exploración estructurada permite que los alumnos construyan sus reglas, a la vez que la interacción con pares fomenta el debate y la construcción de nuevo conocimiento matemático.

Las intervenciones docentes juegan un rol clave en este proceso, ya que permiten retroalimentar a los alumnos sobre sus estrategias, habilitan el intercambio entre pares y promueven la reflexión sobre su aprendizaje.

El desarrollo de la habilidad comunicacional en matemáticas no se limita a la producción oral, sino que también abarca la lectura y la escritura de razonamientos matemáticos. Los alumnos deben aprender a interpretar consignas, justificar sus respuestas y construir explicaciones estructuradas.

Este problema también ofrece oportunidades para conectar diferentes áreas de las matemáticas. A través de la exploración y del trabajo en grupo, los alumnos deben interpretar información, formular explicaciones, intercambiar ideas y defender sus razonamientos con claridad. Este tipo de situaciones reales de comunicación en el aula promueven el uso del lenguaje matemático en distintos niveles de complejidad.

Al extender el problema a diferentes áreas matemáticas, los alumnos pueden reforzar estas conexiones y profundizar en su comprensión.

▪Geometría: explorar propiedades de figuras en la cuadrícula. Por ejemplo, podría pedirse a los alumnos que investiguen qué ocurre si los cuadrados pueden formarse también (o solo así) utilizando únicamente vértices de la cuadrícula (y que los lados no estén sobre la cuadrícula). Este es un nuevo problema.

▪Álgebra: investigar cómo se calcula la suma de los cuadrados de naturales consecutivos y su aplicación en otros problemas. Si bien la exigencia de resolver este problema, encontrar una fórmula para esta suma, excede los objetivos del ciclo (y tradicionalmente se la puede encontrar en segundo año de bachillerato), sí podría transformase en una actividad de búsqueda y selección de información donde se la explique o utilice. Simplemente saber que existe una solución al problema es conocimiento.

▪Estrategias sofisticadas de conteo: extender el problema a rectángulos, por un lado, o a cubos en una cuadrícula tridimensional, por otro, para explorar cómo varían los conteos de figuras dependiendo de las dimensiones.

De lo local a lo particular y de ahí a lo general

El aprendizaje de las matemáticas no solo implica el desarrollo de habilidades técnicas. La producción de explicaciones supone otorgarle al alumno un lugar de investigador y comunicador, que le hará crecer en autonomía. La reflexión sobre el trabajo matemático, lo que entiende de él y lo que logra comunicar son indicadores inequívocos de los aprendizajes que ha conseguido.

Problemas como el que presentamos en este artículo ofrecen oportunidades valiosas para que los alumnos transiten desde la exploración concreta hacia la abstracción y la generalización. Este recorrido permite que construyan conexiones significativas entre diferentes conocimientos matemáticos que ya poseen, fortaleciendo su red conceptual.

El intercambio de ideas entre pares durante la resolución no es un elemento secundario, sino constitutivo del proceso de aprendizaje. Es en esta confrontación de perspectivas donde los conceptos matemáticos se refinan y donde los alumnos desarrollan su capacidad argumentativa. Verbalizar el propio razonamiento obliga a clarificar las ideas, detectar inconsistencias y construir justificaciones cada vez más sólidas.

Como diseñador de estas situaciones de aprendizaje, el docente tiene la responsabilidad de seleccionar problemas con potencial didáctico, calibrar su complejidad para que resulten desafiantes pero accesibles, y planificar los momentos de exploración individual, discusión grupal y formalización colectiva. Su intervención no está orientada a simplificar el camino, sino a ubicar el problema en una perspectiva más amplia con preguntas oportunas que promuevan la reflexión.
 
La riqueza de un problema aparentemente sencillo como el conteo de cuadrados radica en cómo habilita distintos niveles de análisis y formalización, permitiendo que cada alumno avance desde su punto de partida actual. Lo que comienza como una actividad de conteo puede evolucionar hacia la identificación de regularidades numéricas, la formulación de conjeturas y, eventualmente, la expresión algebraica de patrones.

Así, la clase de matemáticas se transforma en un espacio donde las ideas se exploran, se discuten y se refinan colectivamente, preparando a los alumnos para resolver problemas escolares y para enfrentar situaciones más complejas con mayor autonomía, confianza y recursos diversificados. Al promover la generalización, la argumentación y la comunicación estamos ayudando a que nuestros alumnos no solo resuelvan problemas matemáticos, sino que piensen matemáticamente.