El teorema de Pick es un resultado que establece vínculos entre el área de un polígono, su contorno y su interior. Más precisamente, establece una fórmula para el área de polígonos sobre una cuadrícula o geoplano, la cantidad de clavos (o puntos de la cuadrícula) en su contorno y en su interior. El teorema se debe al matemático Georg Alexander Pick, nacido en Viena en 1859, quien desarrolló este resultado en 1899.

Veamos ejemplos de cómo “funciona” este teorema. Consideramos algunos polígonos para calcular en cada caso I+B/2-1, y verificar que dicho valor coincide con el área del polígono. No se trata de una justificación de por qué funciona la fórmula, eso está claro; pero ayuda a entender cómo funciona. Para identificar claramente los valores B e I, en cada caso aparecen coloreados con azul los puntos de la cuadrícula sobre el borde del polígono, y con rojo los puntos de la cuadrícula en el interior. Dicho de otra forma, para cada polígono se tiene que B es la cantidad de puntos azules, e I es la cantidad de puntos rojos.

En el polígono de la izquierda tenemos B=10 e I=2, entonces I+B/2-1=2+10/2-1=6 y el área del rectángulo es A=6. En este caso se verifica A=I+B/2-1. Es momento de aclarar que la unidad de medida es el cuadrado mínimo de la cuadrícula, con lo cual es sencillo comprobar que efectivamente el área es 6 cuadrados. De ahora en adelante solo escribiremos la medida, sin explicitar la unidad.
En el segundo polígono, B=14, I=2, e I+B/2-1=2+14/2-1=8. El área es A=8, alcanza nuevamente con contar la cantidad de cuadrados que componen la figura, tenemos nuevamente que A=I+B/2-1.

En el último caso B=14, I=2 igual que en el caso anterior, de donde I+B/2-1=8. ¿Pero el área del polígono es A=8? En este caso no alcanza con contar cuadraditos para comprobar: sí hay seis cuadrados completos, dos triángulos que son mitades de cuadrados, y un triángulo que es una parte de dividir un rectángulo de área 2 por una de sus diagonales. Eso nos lleva a 6+1/2+1/2+2/2 que efectivamente da 8.

Una cuestión a atender es que el teorema no exige que el polígono sea convexo, como se ve en el segundo y en el tercer polígono del ejemplo. Esto referido a la clase de figuras a las que aplicar el resultado.
Con relación a los números que utiliza observamos que I y B son números naturales porque vienen de contar puntos, pero la expresión I+B/2-1 puede ser un número natural o no: depende de si B/2 lo es. Si la cantidad de puntos del borde es par, entonces el área es entera; si es impar, entonces el área es un número natural más 0,5. Dicho de otra forma, los polígonos que pueden representarse en una cuadrícula tienen área natural, o área “terminada en ,5”. De este modo, no es posible representar un polígono de área 10,7 en una cuadrícula.

Este teorema no está incluido en el programa de Educación Inicial y Primaria, tampoco en ninguno de los de Secundaria; pero queremos compartir un enfoque para su abordaje, por las potencialidades que ofrece como contexto auténtico en el que los alumnos pueden hacer matemáticas: formular preguntas investigables, conjeturar respuestas, trabajar en su confirmación o refutación, explorar vínculos para confirmarlos o desecharlos, todo en el contexto de un geoplano o cuadrículas impresas. Un recorrido en el que intervienen polígonos convexos y no convexos, áreas y perímetros
de figuras con nombres propios o no, cantidad de puntos –interiores y en el borde– y de cuadrados, afirmaciones de carácter aritmético que se transformarán en otras más algebraicas al generalizarlas inductivamente.

A continuación presentaremos una serie de actividades comentadas, que podrían orientar al
maestro a trabajar con el teorema de Pick en la escuela.

En esta primera actividad se ha fijado el valor B=12, y se invita a los alumnos a explorar con distintos polígonos que cumplan dicha condición. En este caso, la fórmula para el área de cada polígono viene dada por A=I+5.
A partir de lo anterior, los polígonos que podrían obtener los alumnos no tienen necesariamente la misma área, ya que depende de la cantidad de puntos interiores al polígono. La menor área posible en este caso es 5, y este valor se obtiene cuando I=0, es decir, cuando no hay puntos interiores al polígono. Por otro lado, al aumentar el número de puntos interiores aumenta el área. Más aún, por cada punto interior que se agregue, el área aumenta en una unidad como se muestra en los siguientes ejemplos:

Para representar los polígonos, los niños podrían utilizar papel centimetrado, un geoplano, GeoGebra, o el soporte que el maestro considere conveniente. Antes de comenzar, el docente podría mostrar con algunos ejemplos qué es lo que se entiende por “12 puntos en el borde”, aclarando que esto no significa que el polígono tenga 12 vértices. Una vez que los alumnos hayan comprendido qué es lo que se les está pidiendo, el maestro ofrece un tiempo para que los niños trabajen en grupos y registren sus resultados. Sería bueno animar a los alumnos a que dibujen polígonos variados y entre los ejemplos proponer algunos polígonos no convexos, ya que esto permitirá mayor variedad de figuras para la discusión.

Una vez que los niños hayan registrado varios ejemplos y resultados, se organiza una puesta en común. Para comenzar, el maestro podría formular algunas preguntas que inviten a los alumnos a cuestionarse sobre alguna regularidad, sin adelantarles de qué se trata. Algunos ejemplos de intervenciones: ¿Cuál es el área de los polígonos que obtuvieron? ¿No todos tienen la misma área? ¿Por qué será? Al parecer, los 12 puntos en el borde no determinan el área, vamos a discutir qué es lo que está sucediendo. ¿Tienen algún ejemplo en el que el área dé 5? ¿Y 6? ¿Cuál es el área máxima que obtuvieron? 

Es muy probable que los distintos grupos de alumnos obtengan ejemplos diferentes. Presentar una variedad grande de ejemplos de polígonos con sus respectivas áreas podría facilitar el establecimiento de relaciones. Una forma de mostrar los resultados de los alumnos de manera organizada es hacerlo en categorías. Para retomar la discusión se podrían agrupar los polígonos obtenidos por los alumnos en función de su área, como se muestra a continuación.

A partir de aquí, el maestro podría proponer algunas preguntas para continuar con la discusión. Más precisamente, los alumnos deberían fijar su atención en una característica no conocida por los ellos, que es la cantidad de puntos en el interior de los rectángulos. Por ejemplo: ¿Qué tienen en común los polígonos con área 5? ¿Y los de área 6? ¿En qué se diferencia un polígono de área 5, de uno de área 6? Hay convexos y no convexos en cada grupo, la cantidad de lados de los polígonos varía. Esas variables no explican que el área valga 5 en todos los ejemplos, ni en los que vale 6, ni en los otros. Hay que fijar la atención en otra variable que hasta el momento no está explícita. Para hacerla “aparecer”, el maestro podría ejemplificar una forma de “modificar” polígonos para aumentar el área en una unidad; por ejemplo, podría presentar el siguiente polígono de área 5: 

y “tirar de un vértice” hasta obtener el siguiente polígono de área 6 (ya que le sumamos un triángulo de base 2 y altura 1):

y repetir el procedimiento para obtener uno de área 7 (ahora el triángulo es de base 2 y de altura 2):

En función de lo anterior se podrían hacer preguntas más directas para fijar la atención en los puntos interiores. ¿Qué cambia de un polígono a otro? Si fijan la atención en los puntos de la cuadrícula, ¿qué es lo que cambia de un caso al siguiente? Los alumnos podrían decir que se parte de ningún punto “adentro” del polígono, que al agrandarlo pasa a tener un punto en el interior, luego dos, y así sucesivamente. De esta forma, la atención de los alumnos está dirigida a una nueva característica: los puntos interiores de los polígonos. Este hallazgo es crucial: los puntos interiores importan y lo que hay que dilucidar es cómo intervienen. 

En general, los problemas escolares se presentan con enunciados cerrados en los que están explicitados todos los datos necesarios para resolver el problema. Es importante romper esa lógica, ya que en cualquier problema real no sabemos de antemano a qué cosas debemos prestarles atención, cuáles debemos controlar y con qué consecuencias. Un trabajo exploratorio como este –y sería deseable tener muchos de ellos en la escolaridad– no inicia sabiendo la regla, lo que queremos enseñar; hacemos un recorrido para que los alumnos construyan esa relación como resultado del trabajo.

Una vez fijada la atención en los puntos interiores, hay que volver a las figuras presentadas previamente en categorías para discutir otras relaciones. Podríamos registrar al lado de cada
polígono la cantidad de puntos interiores que tiene, y a partir de ello establecer las primeras
conclusiones:
► Todos los de igual área tienen igual cantidad de puntos interiores.
► Más aún:
◆ Si no tienen puntos interiores, el área es 5.
◆ Si tienen un punto interior, el área es 6.
◆ Si tienen dos puntos interiores, el área es 7.
◆ Si tienen tres puntos interiores, el área es 8.

Las observaciones anteriores podrían registrarse en una tabla como sigue:

El registro anterior invita a conjeturar la siguiente expresión:
Área = 5 + Cantidad de puntos interiores
Si el maestro lo entiende oportuno, podrían registrar la conclusión anterior como sigue:
A = 5 + I
Una vez que los alumnos hayan conjeturado una expresión similar a la anterior, el maestro podría proponerles que representen otros polígonos y verifiquen si esta conjetura se cumple en otros casos.
No hay que perder de vista que la conjetura está apoyada en una colección de ejemplos, particularmente la que se haya hecho en el grupo. Se puede ganar generalidad explorando la validez de algunas de las observaciones hechas; formularla para ponerlas a prueba es una tarea exigente. Por ejemplo: ¿Todos los polígonos con 12 puntos en el borde y ninguno en el interior tienen área 5? Esta tarea invita a una revisión exhaustiva de todos los casos; es importante –a la vez que entretenido– encontrar todas esas figuras (se trata de un trabajo combinatorio que no es tan sencillo
de resolver).
Otras conclusiones que se podrían establecer a partir de lo anterior son las siguientes:
► A mayor cantidad de puntos interiores, mayor es el área.
► Si agregamos un punto interior, el área aumenta en uno.

A partir de este recorrido se ha establecido como conjetura una fórmula que relaciona el área de un polígono cuyo borde pase por 12 puntos con la cantidad de puntos interiores. Al haber fijado la cantidad de puntos en el borde: B=12, la expresión obtenida para el área no establece de forma explícita qué relación tiene esta cantidad B con el área. Se hace necesario proponer otras actividades para poner el foco en la cantidad B, y la relación que existe entre dicha cantidad y el área del polígono. Dicho de otra forma, a partir de la fórmula A=5+I, nos proponemos identificar “de dónde sale el 5”. Por lo dicho al principio, este 5 es exactamente B/2-1. Para hacerlo, proponemos dos posibles caminos:
► Fijar otro valor para B, y realizar un recorrido similar al anterior.
► Fijar un valor de puntos interiores I, explorar y conjeturar como en el caso anterior.

Si los alumnos se han comprometido con la exploración inicial, estos dos caminos pueden surgir como consecuencia de una discusión grupal. ¿De qué depende el resultado al que llegamos? ¿Qué no hemos cambiado en todos los casos? ¿Qué cambios podríamos introducir?

El maestro podría proponer que sus alumnos realicen un trabajo parecido al ya hecho, y que clasifiquen las figuras que van obteniendo según sus áreas. Los alumnos podrían establecer una conjetura como la siguiente:

Área = 6 + Cantidad de puntos interiores

A partir de la expresión anterior surge una pregunta: ¿Qué papel cumple la cantidad de puntos en el borde? ¿Qué relación tiene el 12 con el 5, y el 14 con el 6? ¿Podrían anticipar una fórmula para el área, si el polígono tuviera 16 puntos en el borde? ¿Y si tuviera 15?
Para establecer una conclusión general se podrían comparar las expresiones obtenidas para el área en las dos actividades anteriores. Una posibilidad es establecer una comparación “en paralelo” como se muestra en la siguiente tabla. Una forma de facilitar una relación general, es expresar una fórmula para A+1 en lugar de A, como se muestra en la tercera línea de la tabla.

A partir de las expresiones para A+1, se puede observar que como 6 es la mitad de 12, y 7 es la mitad de 14, entonces A+1 es igual que la mitad de puntos en el borde más la cantidad de puntos interiores o, lo que es lo mismo: el área es la mitad de los puntos en el borde más la cantidad de puntos interiores menos 1.

Al llamar B e I a la cantidad de puntos en el borde e interiores respectivamente tenemos que:

Para terminar, el maestro podría proponerles a los niños que exploren libremente representando diferentes polígonos, ahora con distinta cantidad de puntos en el borde y en el interior, y que verifiquen si esta expresión es cierta.

Al entregar esta actividad, el maestro podría presentarla en relación con la actividad anterior. Explicitar que en el caso anterior se había fijado la cantidad de puntos en el borde y lo que iba variando era la cantidad de puntos en el interior, mientras que en esta actividad se mantiene fija la cantidad de puntos en el interior del polígono y puede ir variando la cantidad de puntos en el borde. Un trabajo similar al realizado en la actividad 1 podría arrojar observaciones como las siguientes:
► Si B = 10 entonces A = 8
► Si B = 11 entonces A = 8,5
► Si B = 12 entonces A = 9
► Si B = 13 entonces A = 9,5
► Y en general, cuando el polígono tiene cuatro puntos en el interior: A es la mitad de B, más 3.
A partir de lo anterior se puede observar que:
► A mayor número de puntos en el borde, mayor es el área del polígono.
► Si agregamos un punto en el borde, el área aumenta en 0,5.

Para establecer una conclusión general se podrían comparar las expresiones obtenidas para el área en las actividades 1 y 2.

Una forma de relacionar estas dos expresiones es modificarlas para obtener expresiones de A+1. En tal caso se tiene lo siguiente:
► Si B=12 entonces A+1=6+I
► Si I=4 entonces A+1=B/2+4
Y como 12 dividido 2 es 6 se tiene la expresión A+1=B/2+I o lo que es lo mismo: A=I+B/2-1. Igual que en la actividad anterior, para terminar, el maestro podría proponerles a los alumnos una exploración libre en la que representen diferentes polígonos, con distinta cantidad de puntos en el borde e interior, y que verifiquen si esta expresión es cierta. 

Una nota

Como conclusión de las actividades 1 y 2 (del segundo recorrido posible) se estableció lo siguiente:
► A mayor cantidad de puntos interiores, mayor es el área. Más aún: si agregamos un punto interior, el área aumenta en uno.
► A mayor número de puntos en el borde, mayor es el área del polígono. Más aún: si agregamos un punto en el borde, el área aumenta en 0,5.

Las anteriores conclusiones no son ciertas en general, sino que son conclusiones locales, válidas en cada caso particular. La primera de ellas es cierta si fijamos la cantidad de puntos en el borde, mientras que la segunda conclusión es cierta si fijamos la cantidad de puntos en el interior. Si estas conclusiones fueron establecidas en la clase, conviene presentar algunos ejemplos que muestren que dichas conclusiones no son verdaderas en general. En los siguientes casos se muestran contraejemplos para las afirmaciones anteriores. El maestro seleccionará los ejemplos que considere.

Contraejemplos

En la siguiente figura tenemos B=10, I=2, y su área es A=6.

No es cierto que, al aumentar la cantidad de puntos interiores, se obtenga una figura de mayor área. Tampoco es cierto que si aumentamos en 1 la cantidad I, el área de la nueva figura también aumente en una unidad, es decir que si I=3, no es cierto que A=7. Más aún, si I=3 tenemos los siguientes casos: 

1. Si B>10, el área de la nueva figura es mayor que 7 (aumenta en más de una unidad respecto a la figura original).
2. Si B=10, el área de la nueva figura es 7 (aumenta una unidad respecto a la figura original). Esto quiere decir que para que el área aumente exactamente una unidad, debe mantenerse fija la cantidad de puntos en el borde.
3. Si B=9, el área de la nueva figura es 6,5 (aumenta en 0,5 respecto a la figura original).
4. Si B=8, el área de la nueva figura es 6 (igual área que la figura original).
5. Si B<8, el área de la nueva figura es menor que 6 (menor área que la figura original).

Por otro lado, no es cierto que al aumentar la cantidad de puntos en el borde se obtenga una figura de mayor área. Tampoco es cierto que si aumentamos en 1 la cantidad B, el área de la nueva figura aumente en 0,5. Es decir que si B=11, no es cierto que A=6,5. Más aún, si B=11, tenemos los siguientes casos:
1. Si I>2, el área de la nueva figura es mayor que 6,5 (aumenta en más de 0,5 respecto al área de la figura original).
2. Si I=2, el área de la nueva figura es 6,5 (aumenta exactamente 0,5 respecto de la figura original).
Esto quiere decir que para que el área aumente exactamente 0,5 debe mantenerse fija la cantidad de puntos en el interior.
3. Si I=0 o I=1, el área de la nueva figura es menor que 6 (el área disminuye respecto de la figura
original). 

Observar que no es posible aumentar en 1 la cantidad de puntos interiores, y que el área se conserve. Dicho de otra forma, si B=11, es imposible que A=6. En caso de que B=11, se tiene A=I+4,5 y para que el área sea 6 debería ser I=1,5 lo que es imposible ya que la cantidad I de puntos interiores al polígono es un número natural. 

1. Representar polígonos en la cuadrícula, que cumplan las siguientes condiciones:
a. B=6, I=2
b. B=6, A=9
c. I=4, A=6
d. A=0,5. ¿Cuánto valen B e I en este caso?
e. I=0. ¿Cuál es el valor mínimo para A? ¿Y el máximo?

2. Representar un polígono de área 10,7 en la cuadrícula. En caso de no ser posible, explicar por qué.
3. Si un polígono tiene 10 puntos en su borde:
a. Representar uno con 3 puntos en su interior.
b. Representar uno con área 7 y uno con área 10.
c. Representar uno con área 3.
d. ¿Cuál es la menor área posible del polígono? ¿Y la mayor?

4. Si un polígono tiene 5 puntos en su interior:
a. Representar uno con 8 puntos en su borde.
b. Representar uno con área 8.
c. Representar uno con área 5.
d. ¿Cuál es la menor área posible del polígono? ¿Y la mayor?
5. En el siguiente polígono, tenemos B=10, I=2 y el área es A=6. ¿Se puede cambiar la forma y que todo lo demás se mantenga?

Como hemos mostrado, el teorema de Pick ofrece una oportunidad para conectar conceptos de geometría, aritmética y álgebra en un contexto visual y manipulativo como el geoplano o la cuadrícula. A través de las actividades propuestas, los alumnos pueden explorar de manera concreta cómo se relaciona la cantidad de puntos en el borde y en el interior de un polígono con su área. Siguen algunos comentarios y reflexiones sobre la potencialidad de llevar esta propuesta a nuestras clases.
Al explorar polígonos con una cantidad fija de puntos en el borde o en el interior, los alumnos descubren patrones y relaciones importantes. Por ejemplo, aumentar los puntos interiores, manteniendo fijos los del borde, incrementa el área en una unidad por cada punto agregado. La exploración también muestra que agregar puntos al borde aumenta el área en 0,5 unidades por cada punto adicional, siempre y cuando la cantidad de puntos interiores se mantenga constante.

Utilizar geoplanos o cuadrículas impresas ayuda a los alumnos a descubrir la relación entre los puntos en el borde, los puntos interiores y el área. Las actividades fomentan el pensamiento espacial y la habilidad de transformar adecuadamente las figuras geométricas.
Estas actividades desarrollan habilidades fundamentales en los alumnos como la formulación de conjeturas, la verificación de resultados y la generalización de patrones. Permiten vincular la aritmética y el álgebra al aplicar la fórmula del teorema de Pick y observar como varían las áreas según los valores de los puntos en el borde o en el interior.

Las actividades pueden ser modificadas según cada grupo particular de alumnos priorizando la flexibilidad en la representación de polígonos, incluyendo formas convexas y no convexas, posibilitando una exploración rica y variada.
Por otro lado, y como lo presentamos, es importante discutir con los alumnos acerca de las limitaciones del teorema y los casos especiales.

Invitar a los alumnos a pensar críticamente sobre los resultados y a buscar contraejemplos fortalece su comprensión, y les enseña a cuestionar y validar sus conocimientos. Una actitud suficientemente escéptica es valiosa, y hay que incluirla en nuestra lista de cosas que queremos que aprendan.
Finalmente se pueden proponer actividades adicionales como: representación libre de polígonos;
representarlos con diferentes combinaciones de puntos en el borde y en el interior, y verificar el resultado encontrado en cada caso; plantear problemas abiertos como encontrar la menor o mayor área posible para un polígono con ciertas condiciones; investigar y explicar por qué ciertos valores de área no pueden ser representados en una cuadrícula, reforzando la comprensión de la naturaleza discreta de los puntos en dicha representación.
Al final del recorrido, los alumnos no solo habrán conocido un resultado “curioso” como el teorema de Pick, sino que habrán participado de una actividad de investigación matemática.