Desde los primeros años de la escolaridad, los alumnos se enfrentan a distintas situaciones en las que los números naturales resultan insuficientes. De esta forma entre otros asuntos van aprendiendo acerca de los números racionales, contextos en los que funcionan, diferentes representaciones. Una vez que los números racionales han entrado al aula surgen algunas preguntas: ¿Qué hacer? ¿Cómo seguir? Se hace necesario tomar decisiones y organizar la enseñanza para continuar con un cierto trabajo matemático y evitar “caer” en viejas prácticas.

«Los números naturales involucrados en  los problemas de reparto se han manifestado insuficientes para responder a algunas situaciones (...). Han aparecido en la clase de Matemática estos nuevos números, y la clase ya no es la misma de antes. ¿Cuál es el panorama? Resulta que estos números no sólo se van a comparar, ordenar y que se operará con ellos, sino que además, resulta que pueden escribirse de distintas maneras. Se vuelve necesaria la toma de decisiones didácticas que permitan ayudar a los niños a abordar esta “revolución científica”.» (Itzcovich, 2012:138)

Una de las decisiones que el maestro debe tomar, una vez que sus alumnos conocen estos nuevos números, es el abordaje de las operaciones con ellos.

Operar con números racionales, y con fracciones en particular, requiere del establecimiento de relaciones que les permitan a los alumnos comprender qué es lo que están haciendo, lo que evitará “olvidos” o “distracciones”.

«Con respecto a los algoritmos de las operaciones con fracciones y  decimales,  si bien podemos enseñar técnicas para  que los alumnos logren cierta destreza en el cálculo del denominador común para sumar o restar, y multiplicar o dividir fracciones sencillas, esta forma de trabajo implica algunos riesgos. (...) ninguna de las técnicas ayuda a los alumnos a pensar sobre el significado de las operaciones o por qué funcionan y (...) es posible que los alumnos pierdan rápidamente ese dominio, porque corren el riesgo de confundir u olvidar las reglas tan rápido como las aprendieron.» (Murugarren y Vírgola,  2007:61)

Es bastante común que los alumnos cometan algunos de estos errores al sumar fracciones de distinto denominador. 
Para sumar dos fracciones de distinto denominador, este alumno suma numeradores y denominadores:

3/4+3/5=7/9

Para sumar dos fracciones de distinto denominador, este alumno multiplica los denominadores y suma los numeradores:

3/4+4/5=7/20

Para sumar dos fracciones de distinto denominador, este alumno multiplica cruzado “3x5=15, 4x4=16”, pero ubica mal estos productos:

3/4+4/5=15/16

Varios son los autores que sugieren la entrada a las operaciones a través del cálculo mental.

«...es primordial que los problemas permitan a los alumnos avanzar en la comprensión del tipo de situaciones, para cuya resolución son útiles determinadas operaciones. Así, irán construyendo estrategias de cálculo mental antes de llegar a la sistematización de los algoritmos.» (ibid.)

Los procedimientos de cálculo mental están basados en las propiedades de las operaciones  y en los resultados memorizados de quien desarrolla estos procedimientos, es decir, en los repertorios de cálculo. Algunos contenidos de cálculo mental que podrían ser objeto de trabajo en la escuela son los siguientes:

Composición de enteros

▶ Para formar 1 se necesitan 2 de 1/2, 4 de 1/4,
8 de 1/8, 3 de 1/3, 6 de1/6...
▶ Para formar 2 es preciso el doble (4 de 1/2, 8
de 1/4, 16 de 1/8, 6 de 1/3...)
▶ Similares conclusiones para formar 3 (el tri-
ple), 4 (el cuádruple)...

Composición de algunas fracciones conocidas

▶ 1/2 puede descomponerse usando 1/4, 1/8,
1/6. No se puede formar con 1/3.
▶ 1/3 puede descomponerse con 1/6, no se
puede formar con 1/2, 1/4 ni 1/8.
▶ 1/n puede descomponerse en sumas con:
1/2n, 1/3n, 1/4n (para el maestro), dicho de otra forma, una fracción puede descomponerse en otras cuyos denominadores son múltiplos del primero.

Relación entre medios, cuartos, octavos

▶ 1/2 es la mitad de 1, el doble de 1/4 y cuatro
veces 1/8.
▶ 1/4 es la cuarta parte de 1, la mitad de 1/2, el
doble de 1/8.
▶ 1/8 es la octava parte de 1, cuatro veces 1/2
y el doble de 1/4.
▶ 1/3 es la tercera parte de 1, el doble de 1/6.
▶ 1/6 es la sexta parte de 1, y la mitad de 1/3.
▶ Si compongo una cantidad usando solamente 1/2 y por otro lado usando solo 1/4: necesito el doble de cuartos porque son la mitad de chicos (así con octavos, tercios y sextos).

Dobles y mitades

▶ El doble de 1/2 es 1, el de 1/3 es 2/3, el de
1/4 es 1/2 o es 2/4, el de 1/5 es 2/5...
▶ El doble de una fracción 1/n es 2/n (para el
maestro), dicho de otra forma, el doble de una fracción se hace multiplicando el numerador por 2.
▶ El doble de una fracción 1/2n (o sea deno-
minador par) es 1/n (para el maestro), dicho de otra forma, si el denominador de una fracción es par, el doble de la fracción se puede hacer dividiendo el denominador entre 2.

Si bien el trabajo con el cálculo mental (bajo cierto clima de clase) ofrece ventajas respecto a la explicación tradicional de los algoritmos, es importante que los alumnos cuenten con estrategias de cálculo que funcionen en todos los casos, es decir, que aprendan algoritmos para operar con números racionales. Esto no solo permitirá resolver situaciones donde los números involucrados dificulten el cálculo mental, sino que además les permitirá a los alumnos comprender ciertas técnicas algebraicas en el futuro. Pero ¿cómo trabajar con los algoritmos convencionales?

«...hacer evolucionar los conocimientos de los alumnos sobre estos números implica un interjuego de cálculos mental y algorítmico. El trabajo con el primero apunta a elaborar las razones que fundamentan los mecanismos de funcionamiento de los algoritmos y, también, permite reflexionar sobre aquellas; a su vez, disponer de los algoritmos enriquece la posibilidad del cálculo mental.» (Itzcovich, 2012:142)

Las estrategias de cálculo mental permiten en principio justificar el funcionamiento de los algoritmos convencionales, y luego llevar un control sobre su uso, por lo que el cálculo algorítmico no sustituye el cálculo mental, sino que deben convivir de forma complementaria en la clase.
En suma, el trabajo con el cálculo mental deberá dar lugar a la comprensión de los algoritmos clásicos. Serán los alumnos enfrentados a distintas situaciones quienes deberán decidir qué estrategia utilizar para operar con números racionales.

Es esperable que luego de un largo trabajo en torno al cálculo mental, los alumnos tengan herramientas para encontrar fracciones equivalentes a una dada, y puedan sumar con facilidad fracciones de igual denominador, además de algunas con denominadores distintos. Estas cuestiones son necesarias para hacer evolucionar las estrategias de cálculo mental, y comprender el algoritmo de suma de fracciones. Las siguientes actividades han sido planificadas con el objetivo de enseñar el algoritmo para sumar fracciones, suponiendo que los alumnos tienen disponibles estrategias para obtener fracciones equivalentes y sumar fracciones de igual denominador.

Actividad Paula quiere calcular la suma 3/2+5/3 ¿Podés ayudarla a calcular el resultado?

Con esta actividad se buscó poner en discusión el siguiente hecho: si en una suma de fracciones se cambian los sumandos por fracciones equivalentes, la suma es la misma. Algunos alumnos podrían estar acostumbrados a cambiar una expresión por otra en actividades de cálculo mental, por ejemplo, al poner en juego algunas equivalencias, composiciones o repertorios de cálculo memorizados. En esta actividad se hace explícita esta estrategia, y cada expresión se sustituye por una fracción equivalente. La propia consigna da lugar a discutir con los alumnos acerca de la validez de esta estrategia. Algunas preguntas que podrían orientar la discusión son las siguientes:
-    ¿Por qué creen que la maestra de Paula le dijo que escriba las fracciones de otra forma?
-    Si Paula cambia las fracciones por otras, ¿el resultado será el mismo?
En principio, los alumnos podrían decir que “la maestra se equivocó” o “no puede cambiar las fracciones”, lo que daría lugar a discutir acerca de que, al sustituir fracciones, debe hacerse por fracciones equivalentes y no por fracciones cualesquiera. Durante la discusión es posible recurrir a otras actividades de suma realizadas anteriormente, para “verificar” que sustituir los sumandos por otros equivalentes da lugar al mismo resultado. Si en la clase hubiera calculadoras, aplicación de celular o de computadora que sumen fracciones, podría recurrirse a ellas para validar estas nuevas expresiones para una misma suma. A partir de esta actividad, es posible obtener distintas expresiones para la suma:

3/2+2/5

si se utilizan las fracciones que se incluyen en la actividad y otras equivalentes que surjan en la clase. Al final de la discusión, podría registrarse:

Una vez registrados estos cálculos, la discusión puede ir por el lado de los cálculos fáciles y difíciles:
-    De las fracciones que escribió Paula, ¿cuáles permiten calcular la suma fácilmente?
De este modo se escribe la suma de distintas maneras, evitando hablar “del denominador común” como única forma de calcular. Los denominadores comunes surgen como “los denominadores convenientes” para que la suma resulte fácil de calcular.

Actividad Martín y Camila tienen que sumar 2/3 y 5/4. Discuten lo siguiente: Martín: –Cami, ¿y si escribimos las fracciones de otra forma? Camila: –¡Dale! Buscamos fracciones equivalentes. Martín: –Buenísimo, ¡manos a la obra! Anotan lo siguiente y Martín dice: ¡No puedo calcular la suma! ¿Por qué creen que Martín no puede calcular la suma?

Esta actividad permite retomar la discusión acerca de los denominadores comunes como los convenientes para que la suma resulte fácil. En este caso, Martín escribió fracciones equivalentes a los sumandos 2/3 y 5/4, pero con denominadores distintos. Esta actividad presentaba entonces una oportunidad de reinvertir las conclusiones abordadas en la actividad anterior. Una vez discutido que “Martín no puede sumar porque sus fracciones tienen distinto denominador” es posible plantearles a los alumnos ayudar a Martín a obtener nuevos sumandos, pero con el mismo denominador. De esta forma, los alumnos se verán enfrentados a la tarea de encontrar denominadores comunes, a diferencia del caso anterior en el que se enfrentaron a “elegir los denominadores convenientes”. Es importante notar este avance, y es por esta razón que hablamos de reinvertir las conclusiones: es deseable que, al enfrentarse a una suma de fracciones, los
alumnos puedan decidir si tienen que sustituir los sumandos o no (caso de distinto denominador); en caso de hacerlo, que puedan decidir con qué fracciones les conviene hacerlo, y por tanto anticipar el denominador más conveniente para realizar la suma.
En la actividad anterior, los alumnos no se enfrentaron a anticipar el denominador común, sino que lo eligieron entre ciertas posibilidades, a diferencia de este caso en el que, al tener que pensar nuevos sumandos, debieron decidir qué denominadores podrían “facilitar” esta suma. Posibles conclusiones para esta actividad son las siguientes:

-    La suma de tercios y cuartos es más fácil si se usa denominador 12.
-    La suma se hace fácil si el denominador nuevo está en las tablas del 3 y del 4.
-    Para sumar tercios y cuartos más fácilmente, se pueden usar varios denominadores: 12, 24, 36, 48, 60, y así sucesivamente.

En la actividad anterior se puso el énfasis en los denominadores que hacen más fácil una suma, esto es, en los denominadores comunes. Los alumnos podrían pensar (aunque no lo diga la maestra) que el denominador 12 que es 3x4 es el más chico, lo que podría instalar la idea de que el único denominador común es el producto de los denominadores. Si bien es cierto que el producto de los denominadores es un denominador común (por ser múltiplo de ambos), este no es el más chico en caso de que los denominadores de los sumandos no sean primos entre sí. Este es el caso de 6 y 10, en el que es posible obtener fracciones equivalentes a los sumandos, con denominador 30.
En esta actividad, la discusión retomó el asunto de los denominadores comunes, pero el énfasis estaba en la forma de hallarlos. Es así que Melisa planteó usar el denominador 6x10, el producto de ambos denominadores, mientras que Santi propuso un denominador más chico.
Estas opciones dan lugar a discutir las siguientes cuestiones:
-    En una suma de dos fracciones de distinto denominador, el producto de los denominadores es un denominador común.
-    El denominador común más chico, no es necesariamente el producto de los denominadores.

Los alumnos pueden probar si efectivamente pueden encontrar fracciones equivalentes de denominadores 30 y 60, para expresar de distintas formas la suma

7/6+3/10

De este modo surge que tanto Melisa como Santiago tienen razón: ambos denominadores sirven. Sin embargo, en esta discusión es impor- tante rescatar la afirmación que realiza Melisa:
–Hay que usar 60 porque es 6x10.
 
Esta afirmación permite discutir si siempre es posible utilizar el producto de los denominadores. Una revisión de las actividades anteriores lleva a decir rápidamente que sí, pero el maestro deberá conducir la discusión hacia la búsqueda de razones. Esto constituye una oportunidad para retomar los múltiplos o las tablas de un número: el producto de dos números es múltiplo de ambos, o dicho de otra forma, si multiplico dos números obtengo otro número, que es múltiplo de ambos.

Esta actividad retoma una vez más la cuestión de los denominadores comunes. En este caso, la discusión no es en torno a una suma en particular, sino en torno a los denominadores.
Por una parte se pretende seguir profundizando en la idea de infinitos denominadores comunes. Por ello se han incluido, por ejemplo, distintas afirmaciones verdaderas para sumar medios y cuartos. Esto podría dar lugar a listar otros denominadores que permiten sumar medios con cuartos. Con esta misma
intención (infinitos denominadores comunes) es que se incluyó el denominador común 12 para medios y tercios: si esto se compara con la primera actividad de esta secuencia, es posible sumar medios y tercios expresados en sextos. La misma idea: para sumar medios con tercios puedo usar denominador 6, 12, 18, 24, y así sucesivamente.
Por otra parte, esta actividad podría utilizarse para generar repertorios de cálculo; en este caso, repertorios de denominadores comunes (repertorios de múltiplos comunes). Es posible proponer algunas sumas en las que los alumnos tengan que obtener resultados rápidos a fin de memorizar estos denominadores comunes. Es importante incluir denominadores múltiplos entre sí (por ejemplo, 5 y 10, 3 y 6) de modo que los alumnos identifiquen el mayor de ellos como el denominador común.

Esta última actividad consiste, de alguna forma, en una actividad de cierre y evaluación, ya que les exige a los alumnos expresar aquello que han aprendido acerca de la suma de fracciones. Es esperable que los alumnos hagan referencia a las fracciones equivalentes, la sustitución de los sumandos (cambiar fracciones por otras) y a los denominadores comunes.
Por otra parte, esta actividad podría mostrarle al maestro algunos malos entendidos o comprensiones parciales de algunos hechos y, por tanto, ofrecer elementos para el diseño de nuevas actividades que permitan revisar estas cuestiones.