Nos convoca un tema siempre presente en nuestras aulas, una de nuestras preocupaciones a la hora de pensar nuestra gestión: cómo abordar la multiplicación y la división. Y esto puede hacerse de diversas maneras que dependen de nuestra idea de la Matemática.
Como lo mencionáramos con anterioridad (cf. Pazos, 2016), muchos hemos aprendido Matemática entendida como un cuerpo acabado de conocimientos, un conjunto de definiciones, para cuyo aprendizaje deben memorizarse ciertos algoritmos o ciertas reglas como “verdades absolutas” e inconexas que no necesitan explicación.
Otros, en cambio, piensan la Matemática como una construcción histórico-social, como un producto cultural. Este enfoque nos sitúa frente a un cuerpo de conocimientos, que se va construyendo en el
tiempo en una comunidad en la que unos problemas dan lugar a otros que se formalizan en un nuevo conocimiento, que se vincula, se relaciona con los anteriores, modificándolos, enriqueciéndolos y facilitando la comprensión.
Estas dos posibles miradas marcan diferencias sustanciales a la hora de pensar cómo enseñar.
Pensar la Matemática como una construcción de cada alumno implica algunas cuestiones que marcan una diferencia con el paradigma clásico. Esta nueva forma de entender la Matemática obliga a reconocer el conocimiento como provisorio y, como tal, supone la aceptación del error como parte del aprendizaje.
«Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibro a estados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados.» (Charnay, 1994:58)
Se entiende entonces que el sujeto aprende por aproximaciones sucesivas al objeto de conocimiento, que irán permitiendo la profundización y la explicitación de relaciones, por lo que el conocimiento que va construyendo es siempre provisorio.

Este conocimiento inacabado, que en el paradigma clásico se evalúa como error, en esta mirada es un estado de conocimiento. Su aparición le permitirá al docente formular intervenciones que promuevan avances.
Lo anterior nos lleva aceptar que cada alumno está en un momento diferente de esa construcción, lo que origina una heterogeneidad importante en el grupo y ofrece la oportunidad de promover el debate, la contraposición, la argumentación.
Para que esto suceda se hace necesaria una presentación compleja a lo largo de la escolaridad, que enriquezca las relaciones que vinculan aspectos. Sin duda, esta postura implica un cambio de paradigma. «“Paso a paso y acabadamente” debe ser sustituido por “Compleja y provisoriamente”.» (Lerner, 1996:112)
No es fácil establecer relaciones desde el paradigma clásico, ya que los contenidos se enseñan uno a uno y parcialmente, tratando de “terminar” el aprendizaje de un tema o un aspecto para proponer otro. Esto hace imposible establecer relaciones.
Compleja y provisoriamente, en cambio, supone presentar el objeto de conocimiento en toda su complejidad para que, a lo largo del tiempo, cada nueva interacción facilite reorganizar y profundizar en ese objeto y en sus relaciones con otros contenidos, al igual que con otros aspectos del mismo contenido. Esto favorece construir sentido, ya que frecuentemente los alumnos saben determinadas cosas pero no pueden utilizarlas en el momento adecuado, en la medida en que es necesario que ese conocimiento en construcción se transforme en una herramienta, se vuelva operativo, para reinvertirse en la solución de nuevos problemas y relacionarse con otros conocimientos que los alumnos ya tienen.
Al mismo tiempo, contrariamente a lo que se piensa, establecer estas relaciones no hace el aprendizaje más difícil, sino que facilita la comprensión al ofrecer varios puntos de anclaje en función de esas relaciones
Atender las relaciones entre los contenidos que se aprenden, debería ser uno de los ejes de la enseñanza de la Matemática.

Tomemos como ejemplo la enseñanza de la multiplicación y de la división. Según el paradigma clásico, en general se enseña primero la multiplicación por una cifra, paralelamente con las tablas una a una, por lo que no se multiplica por 3 hasta que no se aprende a hacerlo por 2, como si saber o no cuándo recurrir a esta operación dependiese del multiplicador. Posteriormente se comienza la división con igual progresión. Se muestra cómo se hace, se proponen ejercicios de aplicación.
En esta mirada, la enseñanza de cómo se hace la “cuenta”, el algoritmo, determina el recorte del contenido “operaciones”. Las propiedades, las relaciones entre los términos y entre operaciones, los vínculos con el sistema de numeración, los repertorios de cálculo, el cálculo relacional, son aspectos que pierden importancia frente a ese centrarse en el algoritmo cuando, en realidad, son estos los aspectos que hacen a la operación más allá de cómo se resuelva el cálculo. A la vez, el manejo y el análisis de estos aspectos facilitan el cálculo.

«Vergnaud toma como premisa que el conocimiento está organizado en campos conceptuales cuyo dominio, por parte del sujeto, ocurre a lo largo de un extenso período de tiempo, a través de experiencia, madurez y aprendizaje (1982, p. 40). Campo conceptual es, para él, un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición (ibid.).» (Moreira, 2002)1

Sin embargo, en general no se establecen redes. Los números racionales, los cocientes fraccionarios, la división entera y exacta, las relaciones entre términos, entre multiplicación y división, las fracciones y las equivalencias, las expresiones fraccionarias y decimales, las razones y proporciones, las equivalencias de medida, no se consideran vinculados con la multiplicación y la división, cuando en realidad son distintas miradas sobre el mismo objeto desde la
complejidad. Se piensa que lo complejo puede generar dificultades y, por lo tanto, errores y se trata de evitarlos no considerándolos un estado de saber en lugar de un no saber.
Una entrada compleja en el contenido debe poner en juego las relaciones entre los conceptos involucrados, por lo que necesita apoyarse en la provisoriedad del conocimiento ya que no estamos pensando en plantear todas estas relaciones desde el comienzo del tema, pero sí a lo largo de la escolaridad. Los acercamientos sucesivos irán haciendo aparecer estas relaciones en la medida en que los alumnos vayan avanzando en la profundización de los distintos aspectos del contenido, al tiempo que develarán “errores”, ideas incompletas, dificultades propias de la adquisición.

«...el campo conceptual de las estructuras multiplicativas consiste en todas las situaciones que pueden ser analizadas como problemas de proporciones simples y múltiples para los cuales generalmente es necesaria una multiplicación, una división o una combinación de esas operaciones (...). Varios tipos de conceptos matemáticos están involucrados en las situaciones que constituyen el campo conceptual de las estructuras multiplicativas y en el pensamiento necesario para dominar tales situaciones. Entre tales conceptos están el de función lineal, función no lineal, espacio vectorial, análisis dimensional, fracción, razón, tasa, número racional, multiplicación y división (...).» (ibid.) 

Por lo tanto, y en concordancia con este planteo, entrar en el campo de las estructuras multiplicativas supone una enseñanza diferente a la que se suele desarrollar.
Podríamos pensar en un trío de números, tales que uno de ellos sea múltiplo de los otros dos. Visto así, el producto aparece como múltiplo del multiplicando y del multiplicador, que son sus factores y, a la vez, sus divisores. Así, el mismo trío podría ser el involucrado en una división exacta, en la que el dividendo es múltiplo del divisor y del cociente. Esto hace que divisor y cociente puedan intercambiarse manteniendo el mismo dividendo, puesto que ambos son sus divisores. En este caso, cada multiplicación vincula dos divisiones exactas en las que cambia el lugar de la incógnita. Estamos siempre en la misma estructura, mirándola desde diferentes ángulos.

A modo de ejemplo, tomemos un trío posible: 2, 8 y 16 donde 16 es múltiplo de 2 y de 8, y 2 y 8 son, a su vez, divisores de 16, por lo que si 2 x 8 = 16 entonces 16 : 8 = 2 y 16 : 2 = 8.
2 x 8 = 16
16 : 2 = 8
16 : 8 = 2
Por lo tanto “si sé una multiplicación, sé dos divisiones”.
Vistas de este modo, las “tablas de multiplicar” que enseñamos son en realidad tablas de múltiplos y divisores, y desde esa complejidad deberían construirse.
La construcción de estas tablas podría pensarse a partir de las que los alumnos ya conocen (la del 1, la del 2 y la del 10) para promover la construcción de las demás por la suma o la multiplicación de los productos conocidos. Por ejemplo, la tabla del 4 podría construirse multiplicando por 2 los productos de la tabla del 2, y la tabla del 3 sumando los productos de la del 2 y la del 1. De esta manera, los alumnos podrían concluir que todas las tablas pueden “armarse” sumando productos de otras, pero solo algunas pueden “armarse” multiplicando otros productos. En grados posteriores se podrán establecer relaciones entre este “descubrimiento” y los
números primos y compuestos, al igual que entre las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación, que son las que permitieron esa construcción así como el algoritmo de cálculo. Del mismo modo deberían explorar si estas propiedades funcionan para la división, ya que los conceptos se enriquecen en función de lo que resuelven pero también de sus limitaciones.
En cuanto a las relaciones de múltiplos y divisores en las tablas, los alumnos podrían explorar las características de los números que se encuentran en un intervalo entre dos productos.
Si 2 x 8 = 16 y 3 x 8 = 24, los números intermedios entre dos productos sucesivos (17, 18,... 23) son dividendos de las divisiones enteras que tienen el mismo cociente y diferente resto, lo que permite seguir profundizando en las relaciones entre los términos y las condiciones del resto de la división entera.
2 x 8 = 16
16 : 8 = 2
17: 8 = 2 y resto 1
18: 8 = 2 y resto 2
19: 8 = 2 y resto 3
23: 8 = 2 y resto 7
24: 8 = 3
En función de ello y para este caso, los alumnos podrían concluir que son posibles ocho divisiones con igual cociente y diferente resto. A partir de la exploración de varios casos podrían generalizar más adelante agrupando los números en los múltiplos de n (en este caso 8), los múltiplos de n+1, n+2, n+3... y descubrir que cada uno de estos grupos tiene el mismo resto al dividirse por n.
Al introducir la división entera se amplía el conjunto numérico, lo que genera las condiciones para la entrada de las fracciones. Estas son la expresión de un cociente, por lo que el resultado de dividir a:b es matemáticamente la fracción a/b. Este cociente podrá expresarse también como número mixto o como expresión decimal, ampliando las representaciones de las escrituras matemáticas que no se ponen en juego en una enseñanza centrada en el algoritmo. Pocas veces, la escuela vincula estos contenidos más allá del resultado de la división como una expresión decimal, o se usa para “pasar de fracción a decimal” sin asociar la fracción con la división que se plantea, con distintas representaciones del mismo número y con la relación entre sus términos. Si aumenta el divisor, ¿qué pasa con el cociente?, ¿y con el resto?, son observaciones localizadas que pueden convertirse en generalizaciones más adelante.
Si bien estas relaciones no se plantearán en su totalidad desde el inicio de la escolaridad, sí deben ir apareciendo y entretejiéndose a lo largo del ciclo escolar. Cada nuevo aspecto que se presente debería apoyarse en lo que el alumno ha aprendido de ese tema a lo largo de la escolaridad, y el docente es el encargado de ayudarle a establecer esas relaciones. Del mismo modo resulta prioritario el trabajo con fracciones y decimales en forma paralela, lo que no es usual. En general se presentan como temas diferentes, sin considerar que son dos representaciones
del mismo número.
Desde un comienzo pueden plantearse situaciones de reparto que los alumnos resuelvan de diferentes maneras, dando origen a distintas representaciones fraccionarias como cociente a partir de la misma diversidad de las representaciones de los alumnos. Estas situaciones pueden ser la entrada para profundizar más adelante en las características del conjunto de los racionales, identificando la ruptura con los números naturales. Comenzar con la equivalencia de fracciones en una primera etapa, en un trabajo localizado a partir de problemas que le den sentido, permitirá generar discusiones que posibiliten la realización de generalizaciones.
En este comienzo, las representaciones gráficas que generalmente acompañan estos acercamientos a las fracciones deberían hacer fuerte hincapié en la relación número de partes y tamaño de las mismas. Esta idea es básica para comprender la equivalencia en un primer momento, y establecer las relaciones con otros contenidos que se apoyan en el mismo concepto. Generalmente no se reconoce esta relación que, como hemos visto, proviene de los primeros acercamientos a la división y a la relación dividendo-cociente. Otro ejemplo de ello es la equivalencia de medidas que usualmente no se vincula con las fracciones equivalentes. Por lo común se banaliza el tema al reducirlo al manejo del algoritmo para encontrar estas equivalencias sin tener en cuenta, por ejemplo, que un par de medidas equivalentes no son más que un par de razones equivalentes para cuya comprensión es fundamental la idea –que se construye en los procesos prácticos de medición– de proporcionalidad inversa entre número y tamaño de las partes, y en el análisis de la división como hemos visto. Comprender que 3 dm = 30 cm es lo mismo que decir 3/10 = 30/100 disminuiría el protagonismo de la enseñanza mecánica de las equivalencias a través de la tabla de conversiones.

Estos pares de razones equivalentes son la base para el trabajo con proporciones y regla de tres, que no es más que la búsqueda de un cuarto proporcional, similar a la que planteamos cuando se quiere completar un par de fracciones equivalentes (3/4 = x/16) o una equivalencia de medidas (3 dm = x cm).
3/4 = x/40 es decir 3/10 = x/100, lo que no es demasiado diferente a 3 dm = 30 cm. Las equivalencias de medida no se consideran vinculadas con estas operaciones cuando, en realidad, son distintas miradas sobre el mismo objeto desde la complejidad.
Estos pares de razones equivalentes permitirían también explorar las variaciones multiplicativas de los términos de la división exacta manteniendo el mismo cociente, así como dar apoyo para que mediante la generalización de los casos particulares los alumnos puedan acercarse a la propiedad de invarianza de la división.
Hasta aquí hemos visto algunas de las relaciones que es posible establecer dentro de este campo conceptual. Del mismo modo se podría pensar en establecer relaciones similares en las estructuras aditivas o en el campo de la medida.
Contrariamente a lo que se piensa, trabajar desde las relaciones facilita no solo la adquisición de nuevos contenidos y la profundización de los construidos, sino que ofrece diferentes anclajes desde donde pensar y con ello posibilita que el conocimiento se vuelva operativo.
Esta concepción de la Matemática y su enseñanza plantea implicancias para el docente y para el colectivo, y consecuencias para el alumno.

Al docente le exige una mirada diferente de los contenidos no como temas que se van sumando a lo largo del año y de la escolaridad, sino como una red de relaciones en el ciclo, en la que unos contenidos se vinculan con otros en una trama compleja que debe ser abordada desde lo global, tal como se orienta en el programa escolar vigente (ANEP. CEP, 2009). Se hace necesario un análisis previo que además permita prever los posibles procedimientos que puedan desarrollar los alumnos, para planificar actividades, intervenciones, debates a promover, institucionalizaciones a realizar.
También debe cambiarse el tenor de las intervenciones apostando a aquellas que no le den al alumno la solución del problema, sino que le permitan explorar, conjeturar, arriesgar conclusiones, debatir con otros, confrontar ideas con los compañeros.
A los alumnos, esta gestión del docente les implica una forma diferente de aprender Matemática: “hacer matemática en la clase”. Es un modo de trabajo que busca generarles confianza en sus saberes y habilidades, hacerles sentir que “saben”, que sus procedimientos son valiosos, que van a avanzar discutiendo con otros, explorando, explicando, conjeturando, validando. En fin, generando un vínculo con la Matemática que los haga sentir exitosos, comprendiendo lo que aprenden.

• 1El autor hace referencia al siguiente trabajo: VERGNAUD, Gérard (1982): “A classification of cognitive tasks and operations of thought involved in addition and subtraction problems” (Cap. 4) en T. P. Carpenter, J. M. Moser, T. A. Romberg (eds.): Addition and Subtraction. A Cognitive Perspective, pp. 39-59. Hillsdale, N. J.: Lawrence Erlbaum.