«...los problemas de regla de tres son problemas de proporcionalidad directa en los que se da un par de elementos que se relacionan y se pide hallar el correspondiente de otro elemento. No hay nada que justifique su tratamiento separado de la proporcionalidad...»
Panizza y Sadovsky (1991)

En primer lugar planteamos las clásicas resoluciones de esta actividad utilizando regla de tres.

Como el lector sabrá, para "ejecutar" la regla de tres es necesario recordar "ubicar iguales unidades en la misma columna", multiplicar cruzado, y otros clichés que, en general, se memorizan para utilizar dicha regla. Analicemos otras formas de realizar estos mismo cálculos.

Como se puede observar, los procedimientos anteriores permiten obtener los mismos resultados que la regla de tres. Pero ¿qué relación existe entre estas resoluciones y la regla de tres? Analicemos ahora las propiedades y relaciones que “se tejen” en esta actividad, y procuremos establecer vínculos entre los procedimientos anteriores y
la regla de tres. A partir de ello intentemos justificar “el funcionamiento” de la misma.

En la actividad que venimos discutiendo los números representan caramelos o pesos. La relación que existe entre “la cantidad de caramelos” y “la cantidad de dinero” viene dada por la siguiente igualdad:

caramelos × 3 = dinero

Decimos que “la cantidad de caramelos y el dinero a pagar por ellos son directamente proporcionales”, y la constante de proporcionalidad es 3. En este caso, la constante de proporcionalidad no es un número sin unidad ya que el 3 representa el dinero a pagar por cada caramelo. Entonces la constante en este caso es “tres pesos por cada caramelo” o “$ 3 por caramelo”. Observemos que el valor de esta constante no está dicho explícitamente en la actividad, sino que se deduce de la  oración “Para comprar 20 caramelos la mamá de Nacho gastó $ 60”.

Por otra parte, observemos que la igualdad caramelos × 3 = dinero puede ser escrita en la forma caramelos = dinero ÷ 3 Estas igualdades ofrecen formas de calcular la cantidad de caramelos o la cantidad dedinero, una vez obtenida la constante de proporcionalidad:

• Conocida la constante “$ 3 por caramelo” y conocida una cantidad de caramelos, la igualdad caramelos × 3 = dinero permite calcular el dinero a pagar “multiplicando por 3 la cantidad de caramelos”. Por ejemplo, en el apartado (a) de la actividad para calcular el costo de 12 caramelos, se puede multiplicar 12 x 3.
• Conocida la constante “$ 3 por caramelo” y conocida una cantidad de dinero, la igualdad caramelos = dinero ÷ 3 permite calcular la cantidad de caramelos a  comprar “dividiendo el dinero entre 3”. Por ejemplo, en el apartado (b) de la actividad para calcular cuántos caramelos se pueden comprar con $ 75, se
  puede dividir 75 : 3.

Esto que describimos anteriormente es parte de lo que se pone en juego en los anteriores procedimientos 1 y 4. Observemos ahora que la idea de multiplicar o dividir por la constante 3 (según queramos averiguar costo o cantidad de caramelos respectivamente) también subyace a la regla de tres. Veamos esto:

(a) Si quiere comprar 12 caramelos, ¿cuánto dinero necesita?(b) ¿Cuántos caramelos puede comprar con $75?

El procedimiento a partir de la regla de tres es el siguiente:

20 caramelos ------------ $60

12 caraelos ------------- x

x = (12x60)/20 = 36

Ahora, podemos escribir la última igualdad como sigue:

x = (12x60)/20 = 12 x (60/20) = 12 caramelos x 3

que coincide con "el costo es el triple de la cantidad de caramelos" ya discutido antes, y expresado por la igualdad:

caramelos x 3 = dinero

En este caso, el procedimiento a partir de la regla de tres es el siguiente:

20 caramelos ------------- $60

x ------------- $75

x = (75x20)/60 = 25

Pero podemos escribir la última igualdad como sigue:

x = (75x20)/60 = 75x(20/60) = 75/(60/20) = $75 / 3

que coincide con "la cantidad de caramelos es la tercera parte del dinero" que escribimos mediante la igualdad.

caramelos = dinero / 3

A partir de la igualdad caramelos × 3 = dinero podemos construir una tabla de valores, y a partir de ella obtener algunas conclusiones. Según esta igualdad, “el dinero a pagar por los caramelos es el triple de la cantidad de caramelos”, lo que nos permite pensar en una tabla de valores similar a “la tabla del 3” como la siguiente:

Caramelos20106070

Dinero6030180210

A partir de estos valores podemos realizar algunas observaciones:

1. Al multiplicar (o dividir) la cantidad de caramelos por un cierto número, también se multiplica (o divide) la cantidad de dinero por ese mismo número (linealidad).
2. Al sumar (o restar) dos cantidades de caramelos, se suman (o restan) también las correspondientes cantidades de dinero (aditividad).
3. La razón entre valores correspondientes (caramelos y dinero) es constante.

Desarrollemos estas ideas:

En la tabla incluimos un par de valores correspondientes que vienen dados en la actividad: 20 caramelos cuestan $ 60. Los restantes valores pueden obtenerse a partir de estos “multiplicando o dividiendo por un número”. Así, por ejemplo, 10 caramelos es la mitad de 20 caramelos, y el costo correspondiente es la mitad de $ 60. De forma similar, 60 caramelos es el triple de 20 caramelos, y el precio correspondiente a 60 caramelos es el triple de $ 60. Esto se puede ver en la tabla como sigue:

De igual forma, el 70 y el 210 se pueden obtener, por ejemplo, multiplicando 10 caramelos y $ 30 por 7.

Esta propiedad respalda parte de los procedimientos 2, 3, 5 y 6, como podremos ver a continuación:

Decir que 12 caramelos es el 60% de 20 caramelos, es lo mismo que decir “12 caramelos = 0,6 x 20 caramelos”. Entonces 12 caramelos cuestan el 60% de $ 60 que es $ 36 o, lo que es lo mismo, “la cantidad de dinero necesaria para comprar 12 caramelos es $ 60 x 0,6 = $ 36”.

En este caso se multiplica la cantidad de caramelos y la cantidad de dinero por 0,6.

La siguiente tabla de valores puede ayudar a aclarar esto:

Como 20 caramelos cuestan $ 60, entonces:

• 10 caramelos cuestan $ 30 (la mitad de 60).
• 2 caramelos cuestan $ 6 (la quinta parte de 30).

En este caso se divide la cantidad de caramelos y la cantidad de dinero entre 2 y luego entre 5.

Como $ 75 = 1¼ x $ 60 Þ a cantidad de caramelos es 1¼ x 20 = 25.
En este caso se multiplica la cantidad de caramelos y la cantidad de dinero por 1¼.
La siguiente tabla de valores puede ayudar a aclarar esto:

Con $ 60 alcanza para comprar 20 caramelos, entonces:

• Con $ 30 que es la mitad alcanza para 10 caramelos.
• Con $ 15 que es la mitad de $ 30 alcanza para comprar 5 caramelos que es la mitad de 10.

En este caso se divide la cantidad de caramelos y la cantidad de dinero entre 2, en forma sucesiva, es decir que se divide una vez entre 2 y luego otra vez entre 2.

Cabe destacar que en estos procedimientos se pone en juego la propiedad que venimos discutiendo pero no de cualquier forma, sino que se multiplica o divide por algún número convenientemente elegido. Así, si bien es válido multiplicar o dividir ambas cantidades por cualquier valor, se multiplican o dividen teniendo en cuenta a qué cantidades de dinero o de caramelos se pretende llegar. Véase, por ejemplo, en el primer caso, que la multiplicación por 0,6 no parece tan cómoda, pero permite  calcular la cantidad de caramelos y dinero buscada, mientras que otros valores no permitirían hacerlo.

Un caso particular de esta propiedad es lo que se llama comúnmente «método de reducción a la unidad» (Baldor, 1985:523): esto consiste en transformar ya sea la cantidad de caramelos o la cantidad de dinero en 1, dividiendo convenientemente: así, por ejemplo, como 20 caramelos cuestan $ 60 entonces (dividiendo todo entre 20) “1 caramelo cuesta $ 60 : 20 = $ 3” y se obtiene la constante de proporcionalidad. También podría dividirse todo entre 60 lo que da lugar a “con $ 1 se puede comprar 20 : 60 = 1/3 de caramelo”.

Esta misma propiedad permite establecer relaciones entre pares de columnas de la tabla, veamos esto con un par de ellas:

Caramelos1060

Dinero30180

En línea con lo que venimos discutiendo podemos observar que la columna del 60 y el 180 es un séxtuplo de la columna del 10 y el 30. Además de poder expresar esto utilizando multiplicaciones podemos expresarlo utilizando razones de la siguiente forma:

($60/$10) = 6 y (180 caramelos/30 caramelos) = 6

Pero como estas razones son iguales podemos escribir también:

($60/$10) = (180 caramelos/30 caramelos)

Esta igualdad entre razones nos permite una nueva mirada sobre la regla de tres, y nuevamente intentar justificar su funcionamiento:

A partir de la regla de tres

20 caramelos ----------- $60

12 caramelos ----------- x

y poniendo en juego esta igualdad entre razones, podemos plantear entonces la igualdad.

(12 caramelos/20 caramelos) = ($x/$60)

o lo que es lo mismo

0.6 = ($x/$60)

Esta igualdad expresa que la misma relación que existe entre las cantidades de caramelos (el 12 es 0,6 veces el 20) debe existir entre los precios (entonces el precio buscado será 0,6 veces 60). A partir de la misma es posible despejar el valor de x haciendo:

x = (12caramelos/20caramelos)x $60 = ((12x60)/20)

que coincide una vez más con el cálculo de la regla de tres1.

En la tabla de valores incluimos los valores “70 caramelos” que se corresponden con “$ 210”. Una forma de obtener este resultado es la siguiente:

(10caramelos cuestan $30 + 60caramelos cuestan $180)/70caramelos cuestan $210

Es decir que al sumar cantidades de caramelos, se suman sus correspondientes costos. Esto paree bastante evidente: en efecto imaginemos que compramos una bolsa que contiene 10 caramelos y cuesta $ 30, al otro día compramos una bolsa de 60 caramelos que cuesta $ 180, en total compramos 70 = 10 + 60 caramelos, y gastamos $ 210 = $ 30 + $ 180 que equivale al costo de una bolsa de 70 caramelos. Esta propiedad fundamenta los procedimientos 3 y 6:

Como 20 caramelos cuestan $ 60, entonces:

• 10 caramelos cuestan $ 30 (la mitad de 60)
• 2 caramelos cuestan $ 6 (la quinta parte de 30)

Entonces para comprar 12 caramelos que es 10 + 2 se necesitan $ 30 + $ 6, o sea, $ 36.

Con $ 60 alcanza para comprar 20 caramelos.

Con $ 30 que es la mitad alcanza para 10 caramelos. Con $ 15 que es la mitad de $ 30 alcanza para comprar 5 caramelos que es la mitad de 10.

Entonces con $ 75 que es $ 60 + $ 15 alcanza para comprar 25 caramelos porque 25 = 20 + 5.

A partir de la tabla de valores también puede observarse que las razones del tipo (y al revés) son constantes. Si a la tabla anterior le agregamos una fila donde se incluya esto, la tabla se vería de esta forma:

Como se observa a partir de esta tabla “aumentada”. la razón

Diero/caramelos

coincide con el valor de la constante, lo que se deduce a partir de la igualdad caramelos × 3 = dinero que ya discutimos.
Este otro punto de vista permite realizar una nueva justificación del “funcionamiento” de la regla de tres.

Veámoslo en uno de los casos anteriores:

Para responder la cantidad de dinero a pagar por 12 caramelos, el planteo que hicimos fue el siguiente:

20 caramelos ------------- $60

12 caramelos ------------- x

Esta igualdad de razones permite plantear la igualdad

60/20 = x/12

lo que comúnmente se lee como “60 es a 20 como x es a 12”. La igualdad expresa que la misma relación que existe entre el 60 y el 20 (uno triple del otro) debe existir entre el valor desconocido x y el 12. A partir de la misma es posible despejar el valor de x haciendo

(60/20)x12 = x

que coincide con la “fórmula” de la regla de tres. De este modo tenemos un nuevo argumento para justificar el funcionamiento de la regla de tres.

Con la discusión anterior nos propusimos revisar algunos argumentos que fundamentan el funcionamiento de la regla de tres como procedimiento de cálculo, en  situaciones de proporcionalidad directa. A continuación presentaremos algunas actividades para abordar el trabajo con la proporcionalidad directa, y el vínculo entre la regla de tres y la proporcionalidad.

Al comenzar el artículo decíamos que la regla de tres es ejecutada de forma mecánica por muchos alumnos escolares y, en la mayoría de los casos, con escasa  comprensión de su funcionamiento. «Con relación a la conocida “regla de tres”, Panizza, M. y Sadovsky, P. (1991) plantean que “el status con que se presenta el método ubica al alumno en la situación de estar aprendiendo un concepto nuevo (el de proporcionalidad), cuando en realidad está aprendiendo un método (que es válido cuando hay proporcionalidad).

Todo eso crea una confusión entre el concepto y el método, y tiene como una de sus consecuencias el aprendizaje de un mecanismo ciego, independiente de los problemas que permite resolver”.» (Crippa, Grimaldi y Machiunas, 2005:14)

No caer en la enseñanza de la regla de tres como mecanismo ciego implica el conocimiento de sus fundamentos por parte de los maestros; y entre los alumnos, la  oportunidad de explorar, probar diferentes formas de resolver y discutir las razones por las que funciona entre otras cuestiones «trabajar con operaciones habilitará a considerar los resultados obtenidos y argumentar su validez a través de relaciones numéricas y propiedades de las operaciones» (ANEP. CEP, 2009:62).